Série de révision N°2 : Arithmétique

Soient \(m,n\in\mathbb{N}\). Montrer
que

1. la somme de deux entiers pairs est paire ;

2. la somme de deux entiers impairs est paire ;

3. le produit de deux entiers impairs est impair ;

4. le produit de deux entiers consécutifs est pair.

Soit \(n\in\mathbb{N}\).

1. Étudier la parité de \(3n^2+15n+7\).

2. Étudier la parité de \(5n^2-7n+4\).

3. Calculer \(A=(-1)^n+(-1)^{n+2}+3\) selon la parité de
   \(n\).

1. Développer \((x+1)^2-x^2\).

2. En déduire que tout entier naturel impair est la différence de
   deux carrés consécutifs.

3. Écrire \(17\) et \(2005\) sous cette forme.

4. Montrer que \(n^2+n+7\) est
   aussi la différence de deux carrés consécutifs.

Déterminer les couples \((x,y)\in\mathbb{N}^2\) tels que \(x\geq2\) et \[2^{x-2}+7^{2y+1}+6^x=16844.\]

1. Étudier la primalité de \(107\)
   et de \(27\).

2. Montrer que \(107\) et \(27\) sont premiers entre eux.

3. Déterminer les couples \((x,y)\in\mathbb{N}^2\) vérifiant \(x^2-y^2=107\).

Déterminer tous les couples \((x,y)\in\mathbb{N}^2\) vérifiant

1. \((x+3)(y+2)=15\) ;

2. \(xy+3x+y=12\).

Soit \(n\in\mathbb{N}\).

1. Montrer que \(n^2+3n+4\) et
   \(n^2-3n+4\) sont pairs.

2. Montrer que \(n^4-n^2+16\) est
   divisible par \(4\).

3. Si \(4\) divise \(n+1\), montrer que \(4\) divise \(n^2+3\).

4. Si \(n\) est impair, montrer que
   \(8\) divise \(n^2-1\), puis que \(16\) divise \(n^4-1\).

Le nombre \(A=\overline{xy}\) a pour
chiffre des dizaines \(x\) et pour
chiffre des unités \(y\). Le nombre
\(B=\overline{yx}\) est obtenu en
inversant ces deux chiffres. Montrer que \(A+B\) est divisible par \(11\).

On donne \(a=504\) et \(b=1350\).

1. Décomposer \(a\) et \(b\) en produits de facteurs
   premiers.

2. Déterminer \(\operatorname{PGCD}(a,b)\) et \(\operatorname{PPCM}(a,b)\).

3. Rendre la fraction \(\dfrac{a}{b}\) irréductible et simplifier
   \(\sqrt{ab}\).

Les employés d’une entreprise peuvent être répartis, sans reste, dans
des bureaux de \(24\), de \(28\) ou de \(36\) personnes. Déterminer le nombre
d’employés sachant qu’il est compris entre \(1500\) et \(2000\).