Table des matières
Objectifs du chapitre
À la fin de ce chapitre, l’élève doit être capable de :
-
étudier la continuité d’une fonction en un point et sur un intervalle ;
-
déterminer l’image d’un intervalle par une fonction continue ;
-
appliquer le théorème des valeurs intermédiaires et la dichotomie ;
-
reconnaître une fonction réciproque et exploiter ses propriétés ;
-
utiliser les racines \(n\)-ièmes et les puissances rationnelles.
Continuité en un point
Continuité en un point
Activité
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = \begin{cases} \dfrac{x^2 - 1}{x - 1} & \text{si } x \neq 1, \\ 2 & \text{si } x = 1. \end{cases}\]
Calculer \(\lim\limits_{x \to 1} f(x)\) puis comparer avec \(f(1)\).
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert \(I\) et \(x_0 \in I\). On dit que \(f\) est continue en \(x_0\) si :
\[\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = f(x_0).\]
Exemple
Soit \(h\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = x \sin\!\left(\dfrac{1}{x}\right)\) si \(x \neq 0\) et \(h(0) = 0\). Étudier la continuité de \(h\) en \(0\) (indication : encadrer \(|h(x)|\)).
Continuité à droite et à gauche
Définition
Soit \(\alpha>0\).
-
Si \(f\) est définie sur \([x_0;x_0+\alpha[\), elle est continue à droite en \(x_0\) si \(\lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = f(x_0)\).
-
Si \(f\) est définie sur \(]x_0-\alpha;x_0]\), elle est continue à gauche en \(x_0\) si \(\lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0)\).
Proposition
Soit \(f\) définie sur un voisinage de \(x_0\).
\[f \text{ continue en } x_0 \;\Longleftrightarrow\; \lim\limits_{x \to x_0^+} f(x) = \lim\limits_{x \to x_0^-} f(x) = f(x_0).\]
Exemple
Soit \(f(x) = x^2\) si \(x \leq 0\) et \(f(x) = 2 + x\) si \(x > 0\). Étudier la continuité de \(f\) en \(0\).
Application
Soit \(f(x) = \dfrac{2x+1}{7-3x}\) si \(x \leq 2\) et \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 6}{x - 2}\) si \(x > 2\).
-
Étudier la continuité de \(f\) en \(2\) à gauche, à droite.
-
Conclusion : \(f\) est-elle continue en \(2\) ?
À faire à la maison
-
Soit \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2 + 9} - 3}{x^2}\) si \(x \neq 0\) et \(f(0) = a\). Déterminer \(a\) pour que \(f\) soit continue en \(0\).
-
Soient \(a, b \in \mathbb{R}^*\) et \(h\) définie par : \(h(x) = ax + 5b - a\) si \(x > 0\) ; \(h(x) = \dfrac{\sin(ax)}{bx}\) si \(x < 0\) ; \(h(0) = 4\). Déterminer \(a, b\) pour que \(h\) soit continue en \(0\).
-
Soit \(f(x) = \dfrac{\cos(x) - x\sin(3x) - 1}{x^2}\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = -\dfrac{7}{2}\). Démontrer la continuité de \(f\) en \(0\).
Continuité sur un intervalle
Définition
Soit \(f\) définie sur un intervalle \(I\).
-
\(f\) est continue sur l’intervalle ouvert \(]a;b[\) si elle est continue en tout point de \(]a;b[\).
-
\(f\) est continue sur \([a;b[\) si elle est continue sur \(]a;b[\) et continue à droite en \(a\).
-
\(f\) est continue sur \([a;b]\) si elle est continue sur \(]a;b[\), continue à droite en \(a\) et continue à gauche en \(b\).
-
Définitions analogues pour \(]a;b]\), \(]a;+\infty[\), \([a;+\infty[\), \(]-\infty;b[\) et \(]-\infty;b]\).
Remarque
Géométriquement, si \(f\) est continue sur \([a;b]\), on peut tracer la courbe \((\mathcal{C}_f)\) d’un seul trait, sans lever le crayon.
Continuité des fonctions usuelles
Proposition
-
Toute fonction polynôme est continue sur \(\mathbb{R}\).
-
Toute fonction rationnelle est continue sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition.
-
\(x \mapsto |x|\) est continue sur \(\mathbb{R}\).
-
\(x \mapsto \sqrt{x}\) est continue sur \([0;+\infty[\).
-
\(x \mapsto \cos x\) et \(x \mapsto \sin x\) sont continues sur \(\mathbb{R}\).
-
\(x \mapsto \tan x\) est continue sur chaque intervalle \(\left]-\dfrac{\pi}{2} + k\pi\,;\dfrac{\pi}{2} + k\pi\right[\), \(k \in \mathbb{Z}\).
Opérations sur les fonctions continues
Proposition
Soient \(f\) et \(g\) continues sur un intervalle \(I\), et \(\alpha \in \mathbb{R}\).
-
\(f + g\), \(fg\) et \(\alpha f\) sont continues sur \(I\).
-
Si \(g\) ne s’annule pas sur \(I\), alors \(\dfrac{1}{g}\) et \(\dfrac{f}{g}\) sont continues sur \(I\).
-
Si \(f\) est continue et positive ou nulle sur \(I\), alors \(\sqrt{f}\) est continue sur \(I\).
Proposition
Soient \(f\) continue sur \(I\) et \(g\) continue sur \(J\) avec \(f(I) \subset J\). Alors \(g \circ f\) est continue sur \(I\).
Exemple
Étudier la continuité de \(f(x) = \cos(x^2 + 4x)\) sur \(\mathbb{R}\).
Application
Étudier la continuité des fonctions sur l’intervalle indiqué :
-
\(f_1(x) = x + \sqrt{x}\), \(I = [0;+\infty[\)
-
\(f_2(x) = \dfrac{x^2 + 1}{x^2 + 4} - \sin x\), \(I = \mathbb{R}\)
-
\(f_3(x) = \tan x\), \(I = \left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\)
-
\(f_4(x) = \sin\!\left(\dfrac{x^2 - 1}{x}\right)\), \(I = \,]0;+\infty[\)
À faire à la maison
Soit \(f\) définie sur \([0;1]\) par \(f(x) = 3x^2 - x - \dfrac{1}{4}\) si \(x \in [0;\tfrac{1}{2}[\) et \(f(x) = 1 - \dfrac{7}{6x+4}\) si \(x \in [\tfrac{1}{2};1]\).
-
Montrer que \(f\) est continue sur \(\left]0\,;\dfrac{1}{2}\right[\) et sur \(\left]\dfrac{1}{2}\,;1\right[\).
-
Étudier la continuité de \(f\) en \(\dfrac{1}{2}\).
-
Conclure que \(f\) est continue sur \([0;1]\).
-
Déterminer les bornes de \(f\) sur \([0;1]\).
Image d’un intervalle par une fonction continue
Image d’un intervalle et d’un segment
Proposition
-
Si \(f\) est continue sur un intervalle \(I\), alors \(f(I)\) est un intervalle.
-
Si \(f\) est continue sur un segment \([a;b]\), alors \(f([a;b]) = [m;M]\), où \(m\) et \(M\) sont les valeurs minimale et maximale de \(f\) sur \([a;b]\).
Cas d’une fonction continue strictement monotone
Si \(f\) est strictement croissante :
| \(I\) | \(f(I)\) |
|---|---|
| \([a\,;b]\) | \([\,f(a)\,;f(b)\,]\) |
| \([a\,;b[\) | \([\,f(a)\,;\lim\limits_{x \to b^-} f(x)\,[\) |
| \(]a\,;b]\) | \(]\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\,;f(b)\,]\) |
| \(]a\,;+\infty[\) | \(]\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\,;\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\,[\) |
Si \(f\) est strictement décroissante :
| \(I\) | \(f(I)\) |
|---|---|
| \([a\,;b]\) | \([\,f(b)\,;f(a)\,]\) |
| \([a\,;b[\) | \(]\lim\limits_{x \to b^-} f(x)\,;f(a)\,]\) |
| \(]a\,;b]\) | \([\,f(b)\,;\lim\limits_{x \to a^+} f(x)\,[\) |
| \(]-\infty\,;b[\) | \(]\lim\limits_{x \to b^-} f(x)\,;\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\,[\) |
Exemple
Soit \(f(x) = x^2\) sur \(I = [1;+\infty[\). Déterminer \(f(I)\).
Application
Déterminer \(f(I)\) dans chaque cas :
-
\(f(x) = \tan x\), \(I = \left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\)
-
\(f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 1}\), \(I = [0;1[\)
-
\(f(x) = \dfrac{1}{x^2 - 2x - 3}\), \(I = ]-\infty;-1[\)
-
\(f(x) = \dfrac{3x + 4}{2x + 1}\), \(I = \left]-\infty\,;-\dfrac{1}{2}\right[\)
À faire à la maison
-
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Étudier la monotonie de \(f\) sur \(\mathbb{R}_+\) et sur \(\mathbb{R}_-\).
-
Déterminer \(f(\mathbb{R}_+)\) et \(f(\mathbb{R}_-)\).
-
En déduire \(f(\mathbb{R})\).
-
-
Soit \(f(x) = \sqrt{x^2 - 4x + 5}\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminer le domaine, étudier les variations et calculer \(f(\mathbb{R})\).
Théorème des valeurs intermédiaires (TVI)
Théorème
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\), alors pour tout réel \(k\) compris entre \(f(a)\) et \(f(b)\), il existe au moins un \(\alpha \in [a;b]\) tel que \(f(\alpha) = k\).
Conséquence
Si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors l’équation \(f(x) = 0\) admet au moins une solution dans \(]a;b[\).
Conséquence
Si \(f\) est continue et strictement monotone sur \([a;b]\) avec \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution dans \(]a;b[\).
Exemple
Montrer que l’équation \(x^4 + x^2 + 4x - 1 = 0\) admet au moins une solution dans \([0;1]\).
Application
-
Montrer que \(2\cos x - 1 = 0\) admet au moins une solution dans \([0;\pi]\).
-
Montrer que \(\cos x + \dfrac{1}{2} = x\) admet une unique solution dans \(\left]0;\dfrac{\pi}{3}\right[\).
À faire à la maison
-
Soit \(f(x) = x^3 + 3x - 1\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
-
Démontrer que l’équation \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(0{,}1\).
-
-
Soit \(g(x) = \cos(x) - x\) sur \([0;1]\). Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution sur \(]0;1[\), et donner un encadrement à \(0{,}01\) près.
Méthode de la dichotomie
La dichotomie est une méthode de recherche d’une valeur approchée d’une racine d’équation. Elle s’appuie sur la conséquence du TVI : si \(f\) est continue sur \([a;b]\) et \(f(a) \cdot f(b) < 0\), alors une racine existe dans \(]a;b[\).
Méthode
Procédure. Soit \(f\) continue sur \([a;b]\) avec \(f(a) \cdot f(b) < 0\).
-
Calculer \(c = \dfrac{a+b}{2}\).
-
-
Si \(f(c)=0\), la racine est \(c\) et la recherche s’arrête.
-
Si \(f(a) \cdot f(c) < 0\), la racine est dans \([a\,;c]\) : remplacer \(b\) par \(c\).
-
Si \(f(c) \cdot f(b) < 0\), la racine est dans \([c\,;b]\) : remplacer \(a\) par \(c\).
-
-
Recommencer jusqu’à atteindre la précision souhaitée. À chaque itération, l’amplitude est divisée par \(2\).
Exemple
Soit \(f(x)=x^2-3\) sur \([1;2]\). Utiliser trois itérations de la dichotomie pour obtenir un encadrement de \(\sqrt{3}\) d’amplitude \(\dfrac18\).
Application
Approximer la solution de l’équation \(f(x) = 0\) :
-
\(f(x) = x^2 - 10\), \(I = [3;4]\), encadrement d’amplitude \(\dfrac{1}{8}\).
-
\(f(x) = x^3 + x^2 - x + 1\), \(I = [-2;0]\), encadrement d’amplitude \(\dfrac{1}{4}\).
À faire à la maison
Soit \(f(x) = x^3 + x - 3\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Montrer que \(f\) est strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
-
Démontrer que \(f(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in [1;2]\).
-
Appliquer la méthode de dichotomie pour donner un encadrement de \(\alpha\) d’amplitude \(\dfrac{1}{16}\) (c.-à-d. après \(4\) itérations).
Fonction réciproque
Théorème
Soit \(f\) une fonction continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\). Alors \(f\) admet une fonction réciproque \(f^{-1}\) définie sur \(J = f(I)\), telle que :
\[\begin{cases} f(y) = x \\ y \in I \end{cases} \;\Longleftrightarrow\; \begin{cases} y = f^{-1}(x) \\ x \in J \end{cases}\]
Proposition
Soit \(f\) continue et strictement monotone sur \(I\), \(f^{-1}\) sa réciproque sur \(J = f(I)\).
-
\(\forall x \in I\), \(f^{-1}(f(x)) = x\).
-
\(\forall y \in J\), \(f(f^{-1}(y)) = y\).
-
\(f^{-1}\) est continue et strictement monotone sur \(J\), de même monotonie que \(f\).
-
Les courbes \((\mathcal{C}_f)\) et \((\mathcal{C}_{f^{-1}})\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).
Exemple
Soit \(f(x) = \sqrt{2x - 1}\) sur \(I = \left[\dfrac{1}{2}\,;+\infty\right[\). Montrer que \(f\) admet une réciproque, déterminer son expression.
Application
Soit \(g(x) = \dfrac{x - 3}{x + 2}\).
-
Montrer que \(g\) est continue et strictement monotone sur \(]-2;+\infty[\).
-
Déterminer \(J = g(]-2;+\infty[)\) et l’expression de \(g^{-1}\).
À faire à la maison
Soit \(h(x) = \dfrac{x^2}{1 + x^2}\) sur \([0;+\infty[\).
-
Montrer que \(h\) est continue et strictement croissante sur \([0;+\infty[\).
-
Déterminer \(J = h([0;+\infty[)\).
-
Justifier l’existence d’une réciproque \(h^{-1} : J \to [0;+\infty[\).
-
Pour \(y \in J\), exprimer \(h^{-1}(y)\) en fonction de \(y\).
-
Déterminer la monotonie de \(h^{-1}\).
Fonction racine \(n\)-ième
Définition et propriétés algébriques
Théorème
Soit \(n \in \mathbb{N}^*\). La fonction \(x \mapsto x^n\) est continue et strictement croissante sur \([0;+\infty[\). Elle admet donc une fonction réciproque appelée racine \(n\)-ième, notée \(x \mapsto \sqrt[n]{x}\), définie sur \([0;+\infty[\).
Ainsi, pour tout \(x, y \in [0;+\infty[\) et \(n \in \mathbb{N}^*\) :
\[y = x^n \;\Longleftrightarrow\; x = \sqrt[n]{y}.\]
Exemple
Calculer \(\sqrt[3]{8}\), \(\sqrt[3]{27}\) et \(\sqrt[4]{16}\).
Proposition
Soient \(a, b \in [0;+\infty[\), \(n, m \in \mathbb{N}^*\).
-
\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[n]{b} = \sqrt[n]{ab}\)
-
\(\dfrac{\sqrt[n]{a}}{\sqrt[n]{b}} = \sqrt[n]{\dfrac{a}{b}}\) (\(b \neq 0\))
-
\(\sqrt[nm]{a^m} = \sqrt[n]{a}\)
-
\(\sqrt[n]{\sqrt[m]{a}} = \sqrt[nm]{a}\)
-
\(\sqrt[n]{a} \cdot \sqrt[m]{a} = \sqrt[nm]{a^{n+m}}\)
-
\(\sqrt[n]{\dfrac{1}{b}} = \dfrac{1}{\sqrt[n]{b}}\) (\(b \neq 0\))
Conséquence
Pour tout \(x, y \in [0;+\infty[\) et \(n \in \mathbb{N}^*\) :
-
\(\sqrt[n]{x} = \sqrt[n]{y} \Longleftrightarrow x = y\).
-
\(\sqrt[n]{x} < \sqrt[n]{y} \Longleftrightarrow x < y\).
Exemple
Comparer \(\sqrt[7]{3}\) et \(\sqrt[5]{2}\).
Limites avec la racine \(n\)-ième
Proposition
Soit \(f\) une fonction à valeurs positives ou nulles sur un intervalle \(I\), et \(x_0 \in I\) ou une borne de \(I\), \(n \in \mathbb{N}^*\).
-
Si \(f\) est continue sur \(I\), alors \(\sqrt[n]{f}\) est continue sur \(I\).
-
Si \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = \ell \geq 0\), alors \(\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = \sqrt[n]{\ell}\).
-
Si \(\lim\limits_{x \to x_0} f(x) = +\infty\), alors \(\lim\limits_{x \to x_0} \sqrt[n]{f(x)} = +\infty\).
Application
Calculer les limites :
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \sqrt[3]{x^2 + 27}\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[5]{x^3 - x + 3}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x+1} - 1}{x}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 8} \dfrac{\sqrt[3]{x} - 2}{x - 8}\)
À faire à la maison
-
Simplifier :
-
\(A = \dfrac{\sqrt[3]{1024} \times \sqrt[5]{3200000}}{\sqrt[4]{64} \times \sqrt[3]{\sqrt{256}} \times \sqrt{2}}\)
-
\(B = \sqrt[5]{32} - (\sqrt[7]{2})^7 + \sqrt[3]{\sqrt[3]{512}} + \dfrac{\sqrt[5]{96}}{\sqrt[5]{3}}\)
-
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}_+\) : (a) \(\sqrt[3]{x} - x = 0\) ;(b) \(\sqrt[3]{x} - 5\sqrt[6]{x} + 6 = 0\).
-
Calculer les limites :
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^3 + x^2} - x\)
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sin x}{\sqrt[3]{x+1} - 1}\)
-
Puissance rationnelle d’un réel strictement positif
Définition
Soit \(x > 0\), \(p \in \mathbb{Z}\), \(q \in \mathbb{N}^*\). On définit :
\[x^{p/q} = \left(\sqrt[q]{x}\right)^p = \sqrt[q]{x^p}.\]
Proposition
Soient \(a, b > 0\) et \(r, r' \in \mathbb{Q}\).
-
\(a^r \cdot a^{r'} = a^{r + r'}\)
-
\((a^r)^{r'} = a^{r r'}\)
-
\(\dfrac{a^r}{a^{r'}} = a^{r - r'}\)
-
\(a^{-r} = \dfrac{1}{a^r}\)
-
\(\dfrac{a^r}{b^r} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^r\)
-
\(a^r \cdot b^r = (ab)^r\)
Proposition
Soit \(r \in \mathbb{Q}^*\).
-
Si \(r > 0\) : \(\lim\limits_{x \to 0^+} x^r = 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^r = +\infty\).
-
Si \(r < 0\) : \(\lim\limits_{x \to 0^+} x^r = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} x^r = 0\).
Exemple
Calculer \(1728^{2/3}\).
Application
Calculer les limites :
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \sqrt[3]{x^5 + 2x^3 - x + 4}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 1} \dfrac{\sqrt[3]{2x+6} - \sqrt{x+3}}{x - 1}\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\sqrt{x+1}}{\sqrt[3]{x^2 - 2}}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 1^+} \dfrac{\sqrt[4]{x^2 - 1}}{\sqrt{x - 1}}\)
À faire à la maison
-
Simplifier : (a) \(\dfrac{16^{1/2} \cdot 8^{2/3}}{4^{1/2}}\) ;(b) \((2^{1/4})^{12} \cdot (8^{1/3})^{-2}\).
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}_+^*\) : (a) \(x^{2/3} = 4\) ;(b) \(x^{3/4} - 8 = 0\).
-
Calculer la limite : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{x^{2/3} + x^{1/2}}{x^{1/3} + 1}\).