Dérivabilité et études de fonctions
Table des matières
Dérivée en un point
Définition
Soit \(f\) définie sur un intervalle ouvert \(I\) et \(a \in I\). On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) s’il existe un réel \(\ell\) tel que :
\[\lim\limits_{x \to a} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = \ell.\]
Ce nombre \(\ell\), noté \(f'(a)\), est la dérivée de \(f\) en \(a\). La courbe \((C_f)\) admet en \(A(a, f(a))\) une tangente d’équation :
\[y = f'(a)(x - a) + f(a).\]
Exemple
Soit \(f(x) = x^2 + 3x\). Calculer \(f'(2)\) et écrire l’équation de la tangente en \(A(2, f(2))\).
Dérivée à droite, à gauche, point anguleux
Définition
-
\(f'_d(a) = \lim\limits_{x \to a^+} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\) : dérivée à droite en \(a\).
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\(f'_g(a) = \lim\limits_{x \to a^-} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a}\) : dérivée à gauche en \(a\).
Proposition
\(f\) est dérivable en \(a\) ssi \(f'_g(a)\) et \(f'_d(a)\) existent et sont égales :
\[f'(a) = f'_g(a) = f'_d(a).\]
Remarque
-
Si \(f\) est continue en \(a\) et \(\lim\limits_{x \to a^+} \dfrac{f(x) - f(a)}{x - a} = \pm\infty\), \((C_f)\) admet une demi-tangente verticale à droite en \(A(a, f(a))\) (idem à gauche).
-
Si \(f'_g(a) \neq f'_d(a)\) avec les deux finies, \((C_f)\) admet deux demi-tangentes non parallèles en \(A\) : c’est un point anguleux.
Dérivabilité \(\Rightarrow\) Continuité
Proposition
Si \(f\) est dérivable en \(a\), alors \(f\) est continue en \(a\). La réciproque est fausse en général.
Exemple
La fonction \(x \mapsto |x|\) est continue en \(0\) mais n’y est pas dérivable.
Application
Soit \(f(x) = \sqrt{x} - 1\) si \(0 \leq x < 1\) et \(f(x) = \dfrac{x^2 - 1}{4}\) si \(x \geq 1\).
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Montrer que \(f\) est continue en \(1\).
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Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(1\).
À faire à la maison
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Étudier la dérivabilité en \(a\) et interpréter graphiquement :
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\(f(x) = x^3 - x\), \(a = 2\)
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\(f(x) = \dfrac{x+1}{x}\), \(a = 1\)
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\(f(x) = (3x - 5)^4\), \(a = 2\)
-
\(f(x) = \sqrt{2x + 1}\), \(a = 0\)
-
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Soit \(f(x) = \dfrac{\sqrt{x^2+1} - 1}{x}\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = 0\).
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Étudier la continuité de \(f\) en \(0\).
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Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\) et interpréter graphiquement.
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Montrer que \(f(x) = x + 1 + 2\sqrt{1 - x}\) définie sur \(]-\infty;1]\) n’est pas dérivable à gauche en \(1\) ; interpréter géométriquement.
Fonctions dérivables et opérations
Proposition
Les fonctions polynomiales, \(x \mapsto \cos x\) et \(x \mapsto \sin x\) sont dérivables sur \(\mathbb{R}\). Toute fonction rationnelle est dérivable sur tout intervalle inclus dans son domaine de définition.
Tableau des dérivées usuelles
| Fonction \(f\) | Dérivée \(f'\) | Domaine |
|---|---|---|
| \(x \mapsto a\), \(a \in \mathbb{R}\) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto ax + b\) | \(a\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto x^n\), \(n \in \mathbb{N}^*\) | \(nx^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto \dfrac{1}{x}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}^*\) |
| \(x \mapsto \sqrt{x}\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0;+\infty[\) |
| \(x \mapsto \cos x\) | \(-\sin x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto \sin x\) | \(\cos x\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x \mapsto \tan x\) | \(\dfrac{1}{\cos^2 x} = 1 + \tan^2(x)\) | \(\mathbb{R} \setminus \left\{\dfrac{\pi}{2} + k\pi,\, k \in \mathbb{Z}\right\}\) |
Opérations sur les dérivées
Proposition
Soient \(f, g\) dérivables sur un intervalle \(I\) et \(\lambda \in \mathbb{R}\).
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\((f + g)' = f' + g'\)
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\((\lambda f)' = \lambda f'\)
-
\((fg)' = f'g + fg'\)
-
\((f^n)' = n\,f^{n-1}\,f'\), \(n \in \mathbb{N}^*\)
-
Si \(g \neq 0\) sur \(I\) : \(\left(\dfrac{f}{g}\right)' = \dfrac{f'g - fg'}{g^2}\)
-
Si \(f \neq 0\) sur \(I\) : \(\left(\dfrac{1}{f}\right)' = -\dfrac{f'}{f^2}\)
-
Si \(f > 0\) sur \(I\) : \((\sqrt{f})' = \dfrac{f'}{2\sqrt{f}}\)
Exemple
Calculer la dérivée de \(f(x) = \dfrac{2x}{1 + x^2}\) sur \(\mathbb{R}\).
Application
Calculer les dérivées sur un intervalle approprié :
-
\(f_1(x) = \sqrt{x} \sin x + \cos x\)
-
\(f_2(x) = (x^2 + 1)^5\)
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\(f_3(x) = \dfrac{x - 1}{x^2 + 1}\)
-
\(f_4(x) = x \cos x\)
-
\(f_5(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)
-
\(f_6(x) = \tan(2x + 1)\)
À faire à la maison
Soit \(g(x) = x\sqrt{x} - 1\) définie sur \([0;+\infty[\).
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Étudier la dérivabilité à droite de \(g\) en \(0\) et interpréter.
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Montrer que \(g\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et calculer \(g'\).
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Dresser le tableau de variations de \(g\).
-
Calculer \(g(1)\) puis déduire le signe de \(g\) sur \([0;+\infty[\).
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Soit \(f(x) = 2x - 3 + \dfrac{4}{\sqrt{x}}\) sur \(]1;+\infty[\). Montrer que \(\forall x > 1, f'(x) = \dfrac{2g(x)}{x\sqrt{x}}\), étudier les variations de \(f\) et démontrer que \(\forall x > 1, f(x) > 3\).
Dérivée de la composée
Proposition
Soient \(f\) dérivable sur \(I\), \(g\) dérivable sur \(J\) avec \(f(I) \subset J\). Alors \(g \circ f\) est dérivable sur \(I\) et :
\[\forall x \in I,\quad (g \circ f)'(x) = g'(f(x)) \cdot f'(x).\]
Exemple
Calculer la dérivée de \(h(x) = \cos(\sqrt{x})\) sur \(]0;+\infty[\).
Application
Calculer la dérivée :
-
\(f(x) = \sin\!\left(x^2 - \dfrac{2}{3}x + 4\right)\)
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\(g(x) = \cos\!\left(\dfrac{4}{x^2 + 4}\right)\)
-
\(h(x) = (x^3 - 2x + 1)^7\)
-
\(k(x) = \sqrt{\sin x + 2}\)
À faire à la maison
Calculer la dérivée de chaque fonction sur un intervalle approprié :
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\(f_1(x) = \sin\!\left(\dfrac{x^2 - 1}{x}\right)\)
-
\(f_2(x) = \cos^3(2x + 1)\)
-
\(f_3(x) = \sqrt{1 + \cos^2 x}\)
-
\(f_4(x) = \tan(\sqrt{x})\)
-
\(f_5(x) = \left(\dfrac{x+1}{x-1}\right)^4\)
-
\(f_6(x) = \sin(\sin x)\)
Dérivée de la fonction réciproque
Proposition
Soit \(f\) continue et strictement monotone sur un intervalle \(I\), dérivable sur \(I\) avec \(f' \neq 0\) sur \(I\). Alors \(f^{-1}\) est dérivable sur \(J = f(I)\) et :
\[\forall x \in J,\quad (f^{-1})'(x) = \dfrac{1}{f'(f^{-1}(x))}.\]
Cas particulier : si \(f'(a) \neq 0\), \((f^{-1})'(f(a)) = \dfrac{1}{f'(a)}\).
Dérivée de \(\sqrt[n]{x}\) et de \(\sqrt[n]{u}\)
Conséquence
Soit \(n \in \mathbb{N}\), \(n \geq 2\).
-
\(x \mapsto \sqrt[n]{x}\) est dérivable sur \(]0;+\infty[\) et :
\[(\sqrt[n]{x})' = \dfrac{1}{n \sqrt[n]{x^{n-1}}}.\] -
Si \(u\) est dérivable et strictement positive sur \(I\) :
\[(\sqrt[n]{u(x)})' = \dfrac{u'(x)}{n \sqrt[n]{(u(x))^{n-1}}}.\]
Exemple
Soit \(f(x) = x^3 + x\) sur \(\mathbb{R}\). Montrer que \(f^{-1}\) est dérivable en \(2\) et calculer \((f^{-1})'(2)\).
Application
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Calculer la dérivée de chaque fonction sur un intervalle approprié :
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\(f(x) = \sqrt[3]{x}\)
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\(g(x) = \sqrt[4]{x^3}\)
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\(h(x) = \sqrt[3]{x^2 + 2x}\)
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\(k(x) = \sqrt[4]{1 + \cos^2 x}\)
-
-
Calculer (à l’aide de la dérivée) :
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{\sqrt[3]{x+1} - 1}{x}\)
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À faire à la maison
Soit \(f(x) = x^3 - 3x - 3\) sur \(\mathbb{R}\).
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Étudier les variations de \(f\).
-
Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([1;+\infty[\).
-
Montrer que \(g\) admet une réciproque \(g^{-1}\) sur un intervalle \(J\) à préciser.
-
Montrer que l’équation \(g(x) = 0\) admet une unique solution \(\alpha \in\,]1;+\infty[\) et que \(2 < \alpha < 3\).
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Calculer \((g^{-1})'(0)\) en fonction de \(\alpha\).
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Comportement asymptotique
Schéma récapitulatif
Remarque
Asymptote oblique et position relative
Exemple
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x + 2}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\). Montrer que \((D) : y = x - 1\) est asymptote oblique de \((C_f)\) et étudier la position relative.
Application
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Pour \(f(x) = \dfrac{3 - 2x^2}{(1+x)^2}\), déterminer les branches infinies.
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Pour \(g(x) = 2x - \sqrt{x}\) sur \([0;+\infty[\), déterminer les branches infinies.
À faire à la maison
Soit \(g(x) = 1 + \dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}}\) sur \(\mathbb{R}\).
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Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} g(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} g(x)\).
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Montrer que \(g'(x) = \dfrac{1}{(x^2 + 1)\sqrt{x^2 + 1}}\) pour tout \(x\), dresser le tableau de variations, et déduire que \(g(x) > 0\) pour tout \(x\).
-
Soit \(f(x) = x - 1 + \sqrt{x^2 + 1}\).
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Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\) ; interpréter.
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Montrer que \((D) : y = 2x - 1\) est asymptote oblique à \((C_f)\) en \(+\infty\).
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Montrer que \(f'(x) = g(x)\) et dresser le tableau de variations de \(f\).
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Concavité et points d’inflexion
Proposition
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\).
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Si \(f'' \geq 0\) sur \(I\) : \((C_f)\) est convexe sur \(I\).
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Si \(f'' \leq 0\) sur \(I\) : \((C_f)\) est concave sur \(I\).
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Si \(f''(a) = 0\) et \(f''\) change de signe en \(a\) : \(A(a, f(a))\) est un point d’inflexion.
Exemple
Étudier la concavité de \(f(x) = x^3 - 3x\) sur \(\mathbb{R}\).
Application
Pour \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x + 2}\), étudier la concavité de \((C_f)\) et préciser les points d’inflexion.
À faire à la maison
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Étudier la concavité de chacune des fonctions et préciser les points d’inflexion :
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\(f_1(x) = x^4 - 6x^2\)
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\(f_2(x) = \dfrac{x}{x^2 + 1}\)
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\(f_3(x) = \sqrt{x^2 + 1}\)
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\(f_4(x) = \sin x\) sur \([0;2\pi]\)
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Soit \(f(x) = \dfrac{x^3 - 3x}{x^2 + 1}\). Montrer que \(f\) admet trois points d’inflexion alignés.
Éléments de symétrie
Axe de symétrie
Proposition
Soit \(f\) définie sur \(D\). La droite \(\Delta : x = a\) est un axe de symétrie de \((C_f)\) ssi :
-
\(\forall x \in D\), \(2a - x \in D\).
-
\(\forall x \in D\), \(f(2a - x) = f(x)\).
Centre de symétrie
Proposition
Soit \(f\) définie sur \(D\). Le point \(\Omega(a; b)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\) ssi :
-
\(\forall x \in D\), \(2a - x \in D\).
-
\(\forall x \in D\), \(f(2a - x) + f(x) = 2b\).
Exemple
Montrer que \((\Delta) : x = 1\) est un axe de symétrie de \((C_f)\) pour \(f(x) = \sqrt{x^2 - 2x + 3}\).
Application
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x + 2}\).
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Montrer que \(\Omega(-2\,;-3)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
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En déduire que l’on peut restreindre l’étude à \(]-2;+\infty[\).
À faire à la maison
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 1}{x + 2}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).
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Donner les coordonnées des points d’intersection de \((C_f)\) avec les axes.
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Étudier les variations de \(f\) et dresser son tableau.
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Vérifier que \(\Omega(-2;-3)\) est un centre de symétrie.
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Soit \(g\) la restriction de \(f\) à \([-1;+\infty[\). Montrer que \(g\) admet une réciproque \(g^{-1}\) sur un intervalle \(J\) à préciser.
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Tracer \((D) : y = x - 1\), \((C_f)\) et \((C_{g^{-1}})\) dans un même repère orthonormé.
Correspondance \((C_f) \leftrightarrow (C_{f^{-1}})\)
Les courbes \((C_f)\) et \((C_{f^{-1}})\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\). Le tableau ci-dessous donne les correspondances entre éléments remarquables.
| Courbe \((C_f)\) | Courbe \((C_{f^{-1}})\) |
|---|---|
| \(A(a, b) \in (C_f)\) | \(A'(b, a) \in (C_{f^{-1}})\) |
| Asymptote verticale \(x = a\) | Asymptote horizontale \(y = a\) |
| Asymptote horizontale \(y = b\) | Asymptote verticale \(x = b\) |
| Asymptote oblique \(y = ax + b\) | Asymptote oblique \(y = \dfrac{1}{a}x - \dfrac{b}{a}\)(\(a \neq 0\)) |
| Tangente / demi-tangente verticale | Tangente / demi-tangente horizontale |
| Tangente / demi-tangente horizontale | Tangente / demi-tangente verticale |
Application
Soit \(f(x) = \dfrac{2x - 1}{x + 1}\) sur \(I = ]-1\,;+\infty[\).
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Vérifier que \(f\) admet une réciproque \(f^{-1}\) et que \((C_f)\) admet pour asymptotes \(x = -1\) et \(y = 2\).
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En déduire les asymptotes de \((C_{f^{-1}})\).