Équations différentielles
Table des matières
Équations différentielles du 1er ordre : \(y' = ay\)
Définition
Une équation différentielle est une équation dans laquelle l’inconnue est une fonction \(y\), et qui fait intervenir cette fonction et ses dérivées.
Proposition
Soit \(a \in \mathbb{R}^*\). Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation différentielle
\[y' = ay\]
sont les fonctions de la forme :
\[f(x) = k\,e^{ax}, \qquad k \in \mathbb{R}.\]
Exemple
Résoudre l’équation \((E) : y' + 2y = 0\), puis trouver la solution vérifiant \(y(0) = 5\).
Application
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Résoudre les équations différentielles :
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\(y' = 3y\)
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\(y' + 5y = 0\)
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Résoudre \((E) : 3y' - 2y = 0\), puis trouver la solution vérifiant \(y(3) = -1\).
À faire à la maison
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Soit \(f\) une fonction dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(f' + 2f = 0\) et \(f(\ln 3) = 6\).
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Déterminer l’expression de \(f(x)\).
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Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\).
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Étudier le sens de variation de \(f\) et dresser son tableau de variations.
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On considère l’équation \((E) : y' - 5y = 0\). Soit \(g\) une solution de \((E)\) telle que \(g(1) - g(0) = e^5 - 1\). Déterminer \(g\) explicitement.
Équations différentielles du 1er ordre : \(y' = ay + b\)
Proposition
Soient \(a \in \mathbb{R}^*\) et \(b \in \mathbb{R}\). Les solutions sur \(\mathbb{R}\) de l’équation
\[y' = ay + b\]
sont les fonctions de la forme :
\[f(x) = k\,e^{ax} - \dfrac{b}{a}, \qquad k \in \mathbb{R}.\]
Remarque
Méthode pratique. On écrit \(y' = ay + b\) comme \(y' = a\!\left(y + \dfrac{b}{a}\right)\). Le poser \(z = y + \dfrac{b}{a}\) ramène à \(z' = az\).
Exemple
Résoudre \((E) : y' = 3y + 2\), puis trouver la solution \(g\) vérifiant \(g(-1) = \dfrac{1}{3}\).
Application
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Résoudre \((E) : y' + 2y - 4 = 0\).
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Déterminer la solution de \((E)\) dont la courbe passe par \(A(-\ln 2\,;6)\).
À faire à la maison
Une cuve contient initialement \(V_0 = 100\) litres d’une solution. La quantité \(y(t)\) de soluté (en kg) à l’instant \(t\) (en heures) vérifie :
\[y'(t) = -0{,}5\,y(t) + 4, \qquad y(0) = 2.\]
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Résoudre cette équation différentielle.
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Calculer \(\lim\limits_{t \to +\infty} y(t)\) ; interpréter physiquement.
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À quel instant \(t_0\) a-t-on \(y(t_0) = 6\) ?
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Approfondissement (hors-programme SExp, niveau SM) : on considère \((E) : y' - 4y = 6e^{4x}\). Montrer que \(y_p(x) = 6x\,e^{4x}\) est une solution particulière. Déduire toutes les solutions de \((E)\) (indication : poser \(y = z + y_p\)).
Équations différentielles du 2nd ordre : \(y'' + ay' + by = 0\)
Définition
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\). L’équation
\[r^2 + ar + b = 0\]
est appelée équation caractéristique de l’équation différentielle
\[y'' + ay' + by = 0.\]
Tableau récapitulatif des trois cas
| Discriminant \(\Delta = a^2 - 4b\) | Racines de l’équation caractéristique | Solutions générales sur \(\mathbb{R}\) |
|---|---|---|
| \(\Delta > 0\) | \(r_1, r_2 \in \mathbb{R}\), \(r_1 \neq r_2\) | \(y(x) = \alpha\,e^{r_1 x} + \beta\,e^{r_2 x}\) |
| \(\Delta = 0\) | racine double \(r_0 = -\dfrac{a}{2}\) | \(y(x) = (\alpha + \beta x)\,e^{r_0 x}\) |
| \(\Delta < 0\) | \(r_{1,2} = p \pm iq\), \(q > 0\) | \(y(x) = e^{px}\!\big(\alpha\cos(qx) + \beta\sin(qx)\big)\) |
\((\alpha, \beta) \in \mathbb{R}^2\). Avec deux conditions initiales (par exemple \(y(x_0)\) et \(y'(x_0)\)), \(\alpha\) et \(\beta\) sont uniquement déterminés.
Cas \(\Delta > 0\)
Exemple
Résoudre \((E) : y'' - 3y' + 2y = 0\), puis trouver la solution \(g\) telle que \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = 0\).
Cas \(\Delta = 0\)
Exemple
Résoudre \((E) : y'' + 4y' + 4y = 0\).
Cas \(\Delta < 0\)
Exemple
Résoudre \((E) : y'' - 4y' + 13y = 0\).
Application
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Résoudre :
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\(y'' - 5y' + 6y = 0\)
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\(y'' + 4y = 0\)
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\(y'' + 6y' + 9y = 0\)
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Pour \((E) : y'' - 5y' + 6y = 0\), déterminer la solution \(g\) vérifiant \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = 2\).
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Pour \((E) : y'' + 4y = 0\), déterminer la solution \(g\) vérifiant \(g\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 1\) et \(g'\!\left(\dfrac{\pi}{2}\right) = 2\).
À faire à la maison
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Soit \((E) : y'' - 2y' + 5y = 0\).
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Donner la forme générale des solutions de \((E)\) sur \(\mathbb{R}\).
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Déterminer la solution \(f\) de \((E)\) vérifiant \(f(0) = 0\) et \(f'(0) = 2\).
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Vérifier que \(f(x) = e^x \sin(2x)\) et calculer les zéros de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
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On pose \(\varphi(x) = x^2 + 1\). Montrer que \(\varphi\) est solution particulière de l’équation \((E') : y'' - y = -x^2 + 1\). Déduire toutes les solutions de \((E')\) (indication : poser \(y = z + \varphi\)).
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Problème de mécanique. Un point matériel oscille selon l’équation \(x'' + \omega^2 x = 0\) où \(\omega > 0\). À l’instant \(t = 0\), \(x(0) = x_0\) et \(x'(0) = v_0\).
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Déterminer \(x(t)\).
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Vérifier que \(x(t)\) peut s’écrire \(x(t) = A \cos(\omega t - \varphi)\) pour des constantes \(A > 0\) et \(\varphi\) à exprimer en fonction de \(x_0\), \(v_0\), \(\omega\).
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