Série d’exercices

Résoudre les équations différentielles, puis trouver la solution vérifiant la condition donnée :

1. \(y' = 2y\) et \(y(0) = 3\).

2. \(y' + 5y = 0\) et \(y(\ln 2) = 4\).

3. \(2y' + 3y = 0\) et \(y(2) = 5\).

4. Soit \(f\) dérivable sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(f' + f = 0\) et \(f(0) + f(1) = 1 + e^{-1}\). Déterminer \(f\), puis calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).

1. Résoudre \((E_1) : y' = 2y + 6\) et trouver la solution \(g_1\) telle que \(g_1(0) = 1\).

2. Résoudre \((E_2) : y' + 3y = 6\) et trouver la solution dont la courbe passe par \(A(0\,;5)\).

3. Résoudre \((E_3) : y' - 4y = 0\). Soit \(h\) une solution telle que \(h(0) = 1\) et \(h(1) = e^4 - 5\). Cette condition est-elle compatible ? (discuter)

Partie A : Refroidissement. La température \(T(t)\) d’un corps placé dans un milieu de température constante \(T_0 = 20\) °C suit la loi de Newton : \(T'(t) = -k\,(T(t) - T_0)\) avec \(k > 0\), \(T(0) = 80\).

1. Réécrire l’équation sous la forme \(T' = aT + b\) et résoudre.

2. Avec \(k = 0{,}1\) (en min\(^{-1}\)), donner \(T(t)\) et calculer \(T(10)\). Au bout de combien de temps \(T = 25\) °C ?

Partie B : Médicament. La quantité \(y(t)\) (en mg) d’un médicament dans le sang à l’instant \(t\) (en h) vérifie : \(y'(t) = -0{,}25\,y(t) + 10\), \(y(0) = 0\).

1. Résoudre cette équation différentielle.

2. Calculer \(\lim\limits_{t \to +\infty} y(t)\) ; interpréter (dose d’équilibre).

3. À quel instant \(t_0\) a-t-on \(y(t_0) = 20\) ?

1. Résoudre \((E_1) : y'' - y = 0\).

2. Résoudre \((E_2) : y'' - 4y' + 3y = 0\), puis trouver la solution \(g\) vérifiant \(g(0) = 2\) et \(g'(0) = 4\).

3. Résoudre \((E_3) : y'' - y' - 6y = 0\), puis trouver la solution telle que \(y(0) = 5\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} y(x) = 0\).

1. Résoudre \((E_1) : y'' - 2y' + y = 0\).

2. Résoudre \((E_2) : y'' + 6y' + 9y = 0\), puis trouver la solution \(g\) vérifiant \(g(0) = 2\) et \(g'(0) = 1\).

3. Soit \((E_3) : y'' - 4y' + 4y = 0\). Vérifier que \(f(x) = x\,e^{2x}\) est solution. Donner toutes les solutions.

1. Résoudre \((E_1) : y'' + 9y = 0\), puis trouver la solution \(g\) vérifiant \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = 3\).

2. Résoudre \((E_2) : y'' - 2y' + 2y = 0\).

3. Résoudre \((E_3) : y'' + 2y' + 5y = 0\), puis trouver la solution telle que \(y(0) = 0\) et \(y'(0) = 4\).

Approfondissement — hors-programme en SExp (niveau SM) : les équations avec second membre ne sont pas exigibles au Bac SExp.
Partie A. Soit \((E) : y' - 3y = 4 e^{3x}\).

1. Vérifier que \(y_p(x) = 4 x e^{3x}\) est une solution particulière de \((E)\).

2. Résoudre l’équation homogène \((E_0) : y' - 3y = 0\).

3. En déduire toutes les solutions de \((E)\).

Partie B. Soit \(\psi(x) = 3 e^{2x}\). Montrer que \(\psi\) est solution particulière de \((E') : y'' - y = 9 e^{2x}\). En déduire toutes les solutions de \((E')\) (indication : poser \(y = z + \psi\)).

Un point matériel oscille selon l’équation \(x''(t) + 4 x(t) = 0\). À l’instant \(t = 0\) : \(x(0) = 1\) (en m) et \(x'(0) = 4\) (en m/s).

1. Résoudre cette équation différentielle et déterminer \(x(t)\).

2. Vérifier que \(x(t) = \sqrt{5}\,\cos(2t - \varphi)\), où \(\varphi\) est le réel de \(\left[0\,;\dfrac{\pi}{2}\right]\) tel que \(\cos\varphi = \dfrac{1}{\sqrt{5}}\) et \(\sin\varphi = \dfrac{2}{\sqrt{5}}\).

3. En déduire l’amplitude du mouvement et sa période.

1. Soit \(f(x) = a \cos(2x) + b \sin(2x)\) avec \(a, b \in \mathbb{R}\). Montrer que \(f\) est solution de \(y'' + 4y = 0\) pour tous \(a, b\).

2. Soit \(f(x) = (\alpha + \beta x)\,e^{-x}\) avec \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\). Vérifier que \(f\) est solution de \(y'' + 2y' + y = 0\).

3. Approfondissement (hors-programme SExp) : trouver la valeur de \(\lambda\) pour que \(y_p(x) = \lambda\,e^{-x}\) soit une solution particulière de \(y'' - 3y' + 2y = e^{-x}\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = (x + 1)\,e^{-x}\).

1. Calculer \(f'(x)\) et \(f''(x)\).

2. Vérifier que \(f\) est solution de l’équation différentielle \(y'' + 2y' + y = 0\).

3. Soit \(g(x) = (\alpha + \beta x)\,e^{-x}\). Pour quelles valeurs de \(\alpha, \beta\) la fonction \(g\) vérifie-t-elle \(g(0) = 1\) et \(g'(0) = 0\) ?

4. Étudier les variations de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} g(x)\).

5. Déterminer une primitive de \(g\) sur \(\mathbb{R}\) (indication : IPP).