Exponentielle
Table des matières
La fonction exponentielle
Définition et premières propriétés
Activité
On a vu que la fonction \(\ln\) est continue et strictement croissante de \(]0;+\infty[\) sur \(\mathbb{R}\). Elle admet donc une réciproque sur \(\mathbb{R}\), qui sera appelée fonction exponentielle.
Définition
La fonction exponentielle naturelle, notée \(\exp\), est la réciproque de \(\ln\) sur \(\mathbb{R}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) et tout \(y \in\,]0;+\infty[\) :
\[\exp(x) = y \;\Longleftrightarrow\; x = \ln(y).\]
On note \(\exp(x) = e^x\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Conséquence
-
\(D_{\exp} = \mathbb{R}\) ; \(\forall x \in \mathbb{R}\), \(e^x > 0\).
-
\(e^0 = 1\), \(e^1 = e\).
-
\(\forall x \in \mathbb{R}\), \(\ln(e^x) = x\)et \(\forall y > 0\), \(e^{\ln y} = y\).
-
\(\exp\) est continue et strictement croissante sur \(\mathbb{R}\).
Proposition
Pour tous \(a, b \in \mathbb{R}\) :
-
\(e^a = e^b \;\Longleftrightarrow\; a = b\).
-
\(e^a < e^b \;\Longleftrightarrow\; a < b\).
Propriétés algébriques
Propriété
Soient \(x, y \in \mathbb{R}\) et \(r \in \mathbb{Q}\).
-
\(e^{x+y} = e^x \cdot e^y\)
-
\(e^{x-y} = \dfrac{e^x}{e^y}\)
-
\(e^{-x} = \dfrac{1}{e^x}\)
-
\((e^x)^r = e^{rx}\)
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \((e^x)^2 - 3e^x + 2 = 0\).
Application
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
-
\(e^{1-x} = e^{x - x^2}\)
-
\(e^{x^2 - x} = 1\)
-
\((e^x)^2 - 3e^x + 2 < 0\)
-
\(e^x + 6e^{-x} - 5 = 0\)
-
\(\dfrac{e^{2x+1}}{e^{x-3}} > e^{-x+2}\)
-
\((e^x + 2)(e^{-x+1} - 4) \geq 0\)
À faire à la maison
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : (a) \(e^{2x} - 5e^x + 6 = 0\) ;(b) \(e^{x+2} - 3e^x = 4\).
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}^2\) le système : \(\begin{cases} 5e^{2x+1} + 3e^{-y} = 17 \\ 7e^{2x+1} - 4e^{-y} = -9 \end{cases}\).
-
Démontrer que pour tout \(x \in \mathbb{R}\) : \(\dfrac{e^x - 1}{e^x + 1} = \dfrac{1 - e^{-x}}{1 + e^{-x}}\), puis montrer que \(\left(\dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}\right)^2 + \dfrac{4}{e^x + e^{-x} + 2} = 1\).
Limites de référence
Propriété
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
-
\(\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\), \(n \in \mathbb{N}^*\)
-
\(\lim\limits_{x \to -\infty} x\,e^x = 0\)
-
\(\lim\limits_{x \to -\infty} x^n\,e^x = 0\), \(n \in \mathbb{N}^*\)
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^x - 1}{x} = 1\)
Exemple
Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} (e^x - x)\).
Application
Calculer les limites :
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} (\sqrt{x}\,e^{-x})\)
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{x}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - 1}{e^{3x} - 1}\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}\)
-
\(\lim\limits_{x \to -\infty} 2x\,e^{3x}\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^{x^2}}{x^3 + x + 1}\)
À faire à la maison
-
Calculer les limites :
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} (e^x - \sqrt{x})\)
-
\(\lim\limits_{x \to -\infty} (x^2 + 1)\,e^{x}\)
-
\(\lim\limits_{x \to 0} \dfrac{e^{2x} - e^{-x}}{x}\)
-
\(\lim\limits_{x \to +\infty} e^{\frac{x+4}{x}}\)
-
-
Soit \(f(x) = \dfrac{e^x - 1}{x}\) pour \(x \neq 0\) et \(f(0) = 1\).
-
Montrer que \(f\) est continue en \(0\).
-
Calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\).
-
Étude et représentation graphique de \(\exp\)
Tableau de variations
\(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\), \((e^x)' = e^x > 0\), \(\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty\), \(e^0 = 1\).
| \(x\) | \(-\infty\) | \(+\infty\) | |
|---|---|---|---|
| \((e^x)’\) | + | ||
| \(\exp\) | \(0\) | ↗\((0\,;\,1)\) | \(+\infty\) |
Branches infinies et courbe
-
En \(-\infty\) : \(\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0^+\), donc l’axe \((Ox)\) est asymptote horizontale.
-
En \(+\infty\) : \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x} = +\infty\), donc branche parabolique de direction \((Oy)\).
Remarque
Les courbes de \(\ln\) et \(\exp\) sont symétriques par rapport à la droite \(y = x\).
Exemple
Montrer que la droite \((T) : y = x + 1\) est tangente à la courbe de \(\exp\) au point d’abscisse \(0\).
Application
-
Déterminer le signe de \(e^x - 1\) selon les valeurs de \(x\).
-
Étudier les variations de \(g(x) = e^x - x\) sur \(\mathbb{R}\), et en déduire que pour tout \(x \in \mathbb{R}\), \(e^x \geq x + 1\).
Dérivée de \(\exp\) et de \(e^u\)
Proposition
-
\(\exp\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et \(\forall x \in \mathbb{R}\), \((e^x)' = e^x\).
-
Si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors \(x \mapsto e^{u(x)}\) est dérivable sur \(I\) et :
\[\left(e^{u(x)}\right)' = u'(x)\,e^{u(x)}.\]
Exemple
Calculer la dérivée de \(f(x) = e^{x^2 + 3x}\) sur \(\mathbb{R}\).
Application
Calculer la dérivée de chaque fonction :
-
\(f_1(x) = e^{\sqrt{x}}\)
-
\(f_2(x) = e^{x - 2\ln(x+1)}\)
-
\(f_3(x) = (e^{2x} - e^{-x})^2\)
-
\(f_4(x) = e^{\sqrt[3]{x}}\)
À faire à la maison
-
Calculer la dérivée de chaque fonction :
-
\(f_1(x) = (x^2 - x + 1)\,e^{-x}\)
-
\(f_2(x) = \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}\)
-
\(f_3(x) = e^{x} \sin x\)
-
\(f_4(x) = \sqrt{e^{2x} + 1}\)
-
-
Soit \(f(x) = x - \dfrac{e^x - 1}{e^x + 1}\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Vérifier que \(f(x) = x + 1 - \dfrac{2 e^x}{e^x + 1}\), puis calculer \(\lim\limits_{x \to -\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} f(x)\).
-
Montrer que \(f\) est impaire.
-
Calculer \(f'(x)\) et étudier les variations de \(f\).
-
Primitive de \(u' \cdot e^u\)
Proposition
Si \(u\) est dérivable sur un intervalle \(I\), alors les primitives de \(x \mapsto u'(x)\,e^{u(x)}\) sur \(I\) sont :
\[x \mapsto e^{u(x)} + c, \quad c \in \mathbb{R}.\]
Exemple
Déterminer une primitive de \(f(x) = (x^2 + 1)\,e^{x^3 + 3x}\) sur \(\mathbb{R}\).
Application
Déterminer une primitive de chaque fonction :
-
\(f_1(x) = 2e^{2x} - e^{-x}\)
-
\(f_2(x) = e^{5x + 4}\)
-
\(f_3(x) = \dfrac{2x + 1}{e^{x^2 + x + 1}}\)
-
\(f_4(x) = x\,e^{-x^2}\)
À faire à la maison
-
Déterminer une primitive de chaque fonction :
-
\(h_1(x) = (3x^2 - 2)\,e^{x^3 - 2x + 1}\)
-
\(h_2(x) = \dfrac{e^x}{(e^x + 1)^2}\)
-
\(h_3(x) = e^x \cos(e^x)\)
-
\(h_4(x) = x\,e^{-x^2/2}\)
-
-
Soit \(f(x) = (x + 1)\,e^x\). Vérifier que \(F(x) = x\,e^x\) est une primitive de \(f\) et en déduire toutes les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Fonction exponentielle de base \(a\)
Définition et propriétés algébriques
Définition
Soit \(a > 0\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\), on pose :
\[a^x = e^{x \ln a}.\]
La fonction \(x \mapsto a^x\) est appelée fonction exponentielle de base \(a\).
Conséquence
-
\(a^0 = 1\), \(a^1 = a\).
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\(1^x = 1\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
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Pour \(a > 0\), \(a \neq 1\) : \(\log_a\) et \(x \mapsto a^x\) sont réciproques l’une de l’autre.
Propriété
Soient \(a, b > 0\) et \(x, y \in \mathbb{R}\), \(r \in \mathbb{Q}\).
-
\(a^x \cdot a^y = a^{x+y}\)
-
\(a^{-x} = \dfrac{1}{a^x}\)
-
\(a^{x-y} = \dfrac{a^x}{a^y}\)
-
\((a^x)^r = a^{rx}\)
-
\(a^x \cdot b^x = (ab)^x\)
-
\(\dfrac{a^x}{b^x} = \left(\dfrac{a}{b}\right)^x\)
Dérivée et variations
Proposition
Pour \(a > 0\), \(a \neq 1\), la fonction \(x \mapsto a^x\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et :
\[(a^x)' = a^x \ln a.\]
-
Si \(a > 1\) : \(x \mapsto a^x\) est strictement croissante, \(\lim\limits_{x \to -\infty} a^x = 0\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} a^x = +\infty\).
-
Si \(0 < a < 1\) : \(x \mapsto a^x\) est strictement décroissante, \(\lim\limits_{x \to -\infty} a^x = +\infty\) et \(\lim\limits_{x \to +\infty} a^x = 0\).
Exemple
Résoudre \(\left(\dfrac{1}{2}\right)^x \leq \dfrac{1}{4}\).
Application
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
-
\(3^x > 9^x\)
-
\(10^{2x} + 2 \cdot 10^x - 3 > 0\)
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\(2^{x^2} = 8\)
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Calculer la dérivée de :
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\(f(x) = 2^{x^2 + 2x + 2}\)
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\(g(x) = x^x\) (sur \(]0;+\infty[\), écrire \(g(x) = e^{x \ln x}\))
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À faire à la maison
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Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
-
\(5^{2x} - 4 \cdot 5^x - 5 = 0\)
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\(7^x = 3\)
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\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{x^2 - 1} > \dfrac{1}{4}\)
-
\(3^{x+1} + 3^{x-1} = 30\)
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-
Calculer la dérivée et étudier les variations de \(f(x) = x \cdot 2^x\) sur \(\mathbb{R}\).
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Croissance exponentielle. Une population suit la loi \(N(t) = N_0 \cdot 2^{t/T}\) où \(t\) est en heures et \(T\) est le temps de doublement. Si \(N_0 = 1000\) et \(T = 5\) h, calculer \(N(15)\) et déterminer le temps nécessaire pour atteindre \(50\,000\) individus.