Nombres complexes
Table des matières
Forme algébrique d’un nombre complexe
Définition
Proposition
Il existe un ensemble noté \(\mathbb{C}\), appelé ensemble des nombres complexes, qui contient \(\mathbb{R}\) et vérifie :
-
\(\mathbb{C}\) contient un élément \(i\) tel que \(i^2 = -1\).
-
Tout \(z \in \mathbb{C}\) s’écrit de façon unique sous la forme \(z = a + ib\), avec \(a, b \in \mathbb{R}\).
Définition
Soit \(z = a + ib\), \(a, b \in \mathbb{R}\).
-
Cette écriture est appelée forme algébrique de \(z\).
-
\(a = \mathrm{Re}(z)\) : partie réelle de \(z\).
-
\(b = \mathrm{Im}(z)\) : partie imaginaire de \(z\).
-
Si \(a = 0\) et \(b \neq 0\), \(z\) est dit imaginaire pur. On note \(i\mathbb{R} = \{ib \mid b \in \mathbb{R}\}\) (cet ensemble contient \(0\)).
Exemple
Soit \(z_1 = 5 + 7i\), \(z_2 = 1 - i\), \(z_3 = 5\), \(z_4 = 3i\).
-
\(\mathrm{Re}(z_1) = 5\), \(\mathrm{Im}(z_1) = 7\).
-
\(\mathrm{Re}(z_2) = 1\), \(\mathrm{Im}(z_2) = -1\).
-
\(z_3 \in \mathbb{R}\) : \(\mathrm{Re}(z_3) = 5\), \(\mathrm{Im}(z_3) = 0\).
-
\(z_4 \in i\mathbb{R}\) : \(\mathrm{Re}(z_4) = 0\), \(\mathrm{Im}(z_4) = 3\).
Égalité et opérations dans \(\mathbb{C}\)
Proposition
Soient \(z = a + ib\) et \(z' = a' + ib'\).
-
\(z = z' \Longleftrightarrow a = a' \text{ et } b = b'\).
-
\(z = 0 \Longleftrightarrow a = 0 \text{ et } b = 0\).
Proposition
Soient \(z = a + ib\) et \(z' = a' + ib'\).
-
\(z + z' = (a + a') + i(b + b')\).
-
\(z \times z' = (aa' - bb') + i(ab' + a'b)\).
-
\(\dfrac{1}{z} = \dfrac{a - ib}{a^2 + b^2}\) si \(z \neq 0\).
Exemple
Mettre \(z = \dfrac{1+i}{1-i}\) sous forme algébrique.
Application
Mettre sous forme algébrique :
-
\(z_1 = (2+3i)(-1+i)\)
-
\(z_2 = (1+\sqrt{3}\,i)(1-\sqrt{3}\,i)\)
-
\(z_3 = -\dfrac{1}{4i}\)
-
\(z_4 = \dfrac{1}{2+3i} + (2+i)^2\)
-
\(z_5 = \left(\dfrac{1+i}{1-i}\right)^{14}\)
-
\(z_6 = (3-2i)^2 - (3+2i)^2\)
Remarque
Pour tout \(z \in \mathbb{C}\) : \(z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \mathrm{Im}(z) = 0\) et \(z \in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \mathrm{Re}(z) = 0\).
À faire à la maison
-
Mettre sous forme algébrique : (a) \(z = \dfrac{(2+i)^3}{1 - i}\) ;(b) \(z = \dfrac{1}{(1+i)^{10}}\).
-
Soit \(z = (3 + i)^2 - (1 - 2i)^2\). Calculer \(\mathrm{Re}(z)\) et \(\mathrm{Im}(z)\).
-
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) tels que \((2 + i)a + (3 - 2i)b = 1 + 4i\).
-
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : (a) \(iZ - 1 = Z + 3i\) ;(b) \(\dfrac{Z + i}{Z - i} = i\).
Représentation géométrique
Le plan \((\mathcal{P})\) est muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u}\,;\vec{v})\).
Points, vecteurs et affixes
Définition
-
À tout \(z = x + iy\) on associe le point image \(M(x\,;y)\), noté \(M(z)\). Réciproquement, \(z\) est l’affixe de \(M\), notée \(z = \mathrm{aff}(M)\).
-
Le vecteur \(\vec{u}(x\,;y)\) est appelé vecteur image de \(z\) ; \(z\) est l’affixe de \(\vec{u}\), notée \(\mathrm{aff}(\vec{u})\).
Proposition
Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\) deux points du plan complexe.
-
\(\mathrm{aff}(\overrightarrow{AB}) = z_B - z_A\).
-
Affixe du milieu \(I\) de \([AB]\) : \(z_I = \dfrac{z_A + z_B}{2}\).
Exemple
\(A(2i)\), \(B(1-i)\), \(C(3)\). Trouver \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme.
Application
Soient \(A(2i)\), \(B(1-i)\), \(C(3)\).
-
Calculer les affixes de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{BC}\).
-
Déterminer le centre \(I\) du parallélogramme \(ABCD\).
Alignement de trois points
Proposition
Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) trois points du plan complexe deux à deux distincts.
\[A,\,B,\,C \text{ alignés } \Longleftrightarrow \dfrac{z_B - z_A}{z_C - z_A} \in \mathbb{R}.\]
Application
-
Montrer que \(A(4\,;-6)\), \(B(-2\,;3)\), \(C(-1\,;\tfrac{3}{2})\) sont alignés.
-
Les points \(A(1 + 2i)\), \(B(3 + 3i)\) et \(C(7 + 5i)\) sont-ils alignés ?
À faire à la maison
Dans le plan complexe muni d’un repère orthonormé direct \((O\,;\vec{u}\,;\vec{v})\), on considère les points \(A(2 + i)\), \(B(-1 + 3i)\), \(C(-3 - i)\).
-
Calculer les affixes de \(\overrightarrow{AB}\), \(\overrightarrow{AC}\) et \(\overrightarrow{BC}\).
-
Soit \(D\) tel que \(ABCD\) soit un parallélogramme. Déterminer \(z_D\).
-
Soit \(M\) le milieu de \([AC]\) et \(M'\) le milieu de \([BD]\). Vérifier que \(M = M'\) et interpréter.
-
Déterminer l’ensemble des points \(P\) d’affixe \(z\) tels que \(A\), \(B\), \(P\) soient alignés.
Conjugué d’un nombre complexe
Définition
Soit \(z = a + ib\). Le conjugué de \(z\) est \(\overline{z} = a - ib\). Géométriquement, \(M(\overline{z})\) est le symétrique de \(M(z)\) par rapport à l’axe des réels.
Proposition
Soient \(z, z' \in \mathbb{C}\) et \(n \in \mathbb{N}\).
-
\(\overline{z + z'} = \overline{z} + \overline{z'}\)
-
\(\overline{z \times z'} = \overline{z} \times \overline{z'}\)
-
\(\overline{\left(\dfrac{z}{z'}\right)} = \dfrac{\overline{z}}{\overline{z'}}\) (\(z' \neq 0\))
-
\(\overline{z^n} = \overline{z}^{\,n}\)
-
\(\overline{\overline{z}} = z\)
-
\(z + \overline{z} = 2\,\mathrm{Re}(z)\)
-
\(z - \overline{z} = 2i\,\mathrm{Im}(z)\)
-
\(z \in \mathbb{R} \Longleftrightarrow \overline{z} = z\)
-
\(z \in i\mathbb{R} \Longleftrightarrow \overline{z} = -z\)
Exemple
Soient \(u = \dfrac{2+3i}{3+2i}\) et \(v = \dfrac{2-3i}{3-2i}\). Montrer, sans calcul direct, que \(u + v \in \mathbb{R}\) et \(u - v \in i\mathbb{R}\).
Application
Soit \(z = x + iy\), \((x,y) \in \mathbb{R}^2\).
-
Mettre \(3iz - \overline{z}\) sous forme algébrique.
-
Résoudre \(3iz - \overline{z} = 8i\).
-
Trouver les \(z\) tels que \(3iz - \overline{z}\) soit imaginaire pur.
À faire à la maison
-
Soit \(z = x + iy\) avec \(x, y \in \mathbb{R}\). Déterminer la forme algébrique de \(\overline{z} + 2iz\).
-
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(\overline{z} + 2iz = 3i\).
-
Déterminer l’ensemble des \(z \in \mathbb{C}\) tels que \(\overline{z} + 2iz\) soit réel.
-
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(\dfrac{4z - 2}{z + 1} = -3 + i\).
Module et lieux géométriques
Définition
Soit \(z = x + iy\). Le module de \(z\) est le réel positif :
\[|z| = \sqrt{z\,\overline{z}} = \sqrt{x^2 + y^2}.\]
Géométriquement, si \(M(z)\) : \(|z| = OM\).
Proposition
Soient \(z, z' \in \mathbb{C}^*\) et \(n \in \mathbb{N}\).
-
\(|z| = |-z| = |\overline{z}|\)
-
\(|z\,z'| = |z| \cdot |z'|\)
-
\(\left|\dfrac{z}{z'}\right| = \dfrac{|z|}{|z'|}\)
-
\(|z^n| = |z|^n\)
-
\(|z + z'| \leq |z| + |z'|\) (inégalité triangulaire)
Proposition
Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\) deux points du plan complexe.
\[AB = |z_B - z_A|.\]
Exemple
Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z - (2-i)| = 4\).
Application
Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que :
-
\(|z - (2-i)| = |z - 4i|\)
-
\(|z + i| = |z - (1-i)|\)
-
\(|iz - 2| = |z + 1 - i|\)
-
\(|iz| = |\overline{z} + 1 - i|\)
À faire à la maison
-
Soient \(z_1 = 1 + i\) et \(z_2 = 1 - i\sqrt{3}\). Calculer \(|z_1|\) et \(|z_2|\), puis en déduire \(|z_1 z_2|\), \(|z_1^6|\), \(\left|\dfrac{z_1}{z_2}\right|^2\).
-
Soient \(A(-1 + 6i)\), \(B(1 + 9i)\), \(C(2 + 4i)\). Montrer que le triangle \(ABC\) est rectangle et isocèle en \(A\).
-
Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|z - 3| = |z + 2i|\).
-
Déterminer l’ensemble des points \(M(z)\) tels que \(|\overline{z} + 2i| = 2\).
Forme trigonométrique
Argument
Définition
Soit \(M(z)\) un point distinct de \(O\). L’argument de \(z\) est la mesure \(\theta\) de l’angle orienté \(\widehat{(\vec{u}, \overrightarrow{OM})}\), notée \(\arg(z) \equiv \theta \,[2\pi]\).
Proposition
Soit \(z \in \mathbb{C}^*\).
-
\(z \in \mathbb{R}_+^* \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv 0 \,[2\pi]\)
-
\(z \in \mathbb{R}_-^* \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv \pi \,[2\pi]\)
-
\(z \in i\mathbb{R}_+^* \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv \dfrac{\pi}{2} \,[2\pi]\)
-
\(z \in i\mathbb{R}_-^* \Longleftrightarrow \arg(z) \equiv -\dfrac{\pi}{2} \,[2\pi]\)
-
\(\arg(\overline{z}) \equiv -\arg(z) \,[2\pi]\)
-
\(\arg(-z) \equiv \pi + \arg(z) \,[2\pi]\)
Forme trigonométrique
Définition
Soit \(z \in \mathbb{C}^*\) de module \(r = |z|\) et d’argument \(\theta\). Alors :
\[\cos\theta = \dfrac{\mathrm{Re}(z)}{|z|}, \quad \sin\theta = \dfrac{\mathrm{Im}(z)}{|z|},\]
et la forme trigonométrique de \(z\) est :
\[z = r\,(\cos\theta + i\sin\theta) = [r\,;\theta].\]
Exemple
Mettre \(z = 1 + i\sqrt{3}\) sous forme trigonométrique.
Proposition
Soient \(z = [r\,;\theta]\) et \(z' = [r'\,;\theta']\) deux complexes non nuls, \(n \in \mathbb{N}\).
-
\(z = z' \Longleftrightarrow r = r' \text{ et } \theta \equiv \theta'\,[2\pi]\)
-
\(z \times z' = [\,r r'\,;\,\theta + \theta'\,]\)
-
\(\dfrac{z}{z'} = \left[\dfrac{r}{r'}\,;\,\theta - \theta'\right]\)
-
\(z^n = [\,r^n\,;\,n\theta\,]\)
Application
Mettre sous forme trigonométrique :
-
\(z_1 = 1 + i\sqrt{3}\)
-
\(z_2 = 1 - i\sqrt{3}\)
-
\(z_3 = -1 - i\sqrt{3}\)
-
\(z_4 = -2\sqrt{3} + 2i\)
-
\(z_5 = 4\)
-
\(z_6 = -7\)
Angles orientés
Proposition
Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) trois points du plan deux à deux distincts.
-
\(\widehat{(\vec{u}, \overrightarrow{AB})} \equiv \arg(z_B - z_A) \,[2\pi]\).
-
\(\widehat{(\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC})} \equiv \arg\!\left(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A}\right) \,[2\pi]\).
Application
\(A(2\,;2)\), \(B(2\,;-1)\), \(C(4\,;2)\), \(D(6\,;2)\).
-
Calculer \(\widehat{(\overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AC})}\). Conclure.
-
Calculer \(\widehat{(\overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AB})}\). Position de \((AB)\) et \((AC)\) ?
À faire à la maison
Soient \(z_1 = 1 + i\sqrt{3}\) et \(z_2 = 1 + i\).
-
Mettre \(z_1\) et \(z_2\) sous forme trigonométrique.
-
En déduire la forme trigonométrique de \(Z = \dfrac{z_1^2}{z_2}\).
-
Mettre \(Z\) sous forme algébrique.
-
En déduire les valeurs exactes de \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{12}\right)\).
-
Montrer que \(Z^{12} \in \mathbb{R}\) et déterminer sa valeur.
Forme exponentielle
Définition et propriétés
Définition
Soit \(z \in \mathbb{C}^*\) de module \(r\) et d’argument \(\theta\). La forme exponentielle de \(z\) est :
\[z = r\,e^{i\theta}.\]
Exemple
\(e^{i\pi} = -1\) ;\(2e^{i\frac{3\pi}{4}} = -\sqrt{2} + i\sqrt{2}\).
Proposition
Soient \(r, r' > 0\), \(\theta, \theta' \in \mathbb{R}\), \(n \in \mathbb{N}\).
-
\(|e^{i\theta}| = 1\), \(\arg(e^{i\theta}) \equiv \theta\,[2\pi]\)
-
\(\overline{e^{i\theta}} = e^{-i\theta}\)
-
\(r e^{i\theta} \cdot r' e^{i\theta'} = r r'\,e^{i(\theta + \theta')}\)
-
\(\dfrac{1}{r e^{i\theta}} = \dfrac{1}{r}\,e^{-i\theta}\)
-
\(\dfrac{r e^{i\theta}}{r' e^{i\theta'}} = \dfrac{r}{r'}\,e^{i(\theta - \theta')}\)
-
\((r e^{i\theta})^n = r^n\,e^{in\theta}\)
Application
Soient \(z_1 = 1 - i\), \(z_2 = 2i\), \(z_3 = 3 + 3i\sqrt{3}\). Mettre sous forme exponentielle :
\[a = \dfrac{z_3}{z_1}, \quad b = z_1^8, \quad c = \dfrac{z_1}{z_2 z_3}.\]
Formules de De Moivre et d’Euler — Complément (niveau SM, hors-programme SExp)
Proposition
Pour tout \(n \in \mathbb{Z}\) et \(\theta \in \mathbb{R}\) :
\[(\cos\theta + i\sin\theta)^n = \cos(n\theta) + i\sin(n\theta).\]
Proposition
Pour tout \(\theta \in \mathbb{R}\) :
\[\cos\theta = \dfrac{e^{i\theta} + e^{-i\theta}}{2}, \quad \sin\theta = \dfrac{e^{i\theta} - e^{-i\theta}}{2i}.\]
Exemple
Linéariser \(\cos^2 x\).
Application
-
Linéariser \(\sin^2 x\) et \(\cos^3 x\).
-
Avec De Moivre, exprimer \(\cos(2x)\) et \(\sin(2x)\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\).
À faire à la maison
-
Linéariser \(\sin^4 x\) via les formules d’Euler.
-
À l’aide de De Moivre, exprimer \(\cos(3x)\) et \(\sin(3x)\) en fonction de \(\cos x\) et \(\sin x\).
-
Soit \(z = 1 + i\). Calculer \(z^{12}\) via la forme exponentielle, puis vérifier par calcul direct sur \(z^2\) et \(z^4\).
Tableau récapitulatif des trois formes
| Forme algébrique | Forme trigonométrique | Forme exponentielle |
|---|---|---|
| \(z = a + ib\) | \(z = r(\cos\theta + i\sin\theta)\) | \(z = r\,e^{i\theta}\) |
| \(a = \mathrm{Re}(z)\), \(b = \mathrm{Im}(z)\) | \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\) | \(r = |z|\), \(\theta = \arg(z)\) |
| Idéale pour : addition, soustraction | Idéale pour : trigonométrie | Idéale pour : produits, puissances |
Application
Pour chaque calcul, choisir la forme la plus adaptée puis conclure :
-
\((1 + i\sqrt{3})^9\)
-
\((2 + i) + (3 - 4i)\)
-
\(\arg\!\left((1+i)(\sqrt{3}+i)\right)\)
Équations du second degré à coefficients réels
Proposition
Soient \(a, b, c \in \mathbb{R}\), \(a \neq 0\). L’équation \(az^2 + bz + c = 0\) a pour discriminant \(\Delta = b^2 - 4ac\).
-
\(\Delta > 0\) : deux solutions réelles distinctes \(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\).
-
\(\Delta = 0\) : une solution réelle double \(z_0 = -\dfrac{b}{2a}\).
-
\(\Delta < 0\) : deux solutions complexes conjuguées \(z_{1,2} = \dfrac{-b \pm i\sqrt{-\Delta}}{2a}\).
Exemple
Résoudre \(z^2 + 2z + 4 = 0\) dans \(\mathbb{C}\).
Application
-
Résoudre dans \(\mathbb{C}\) : \(z^2 = -4\) ;\(2z^2 - 3z + 2 = 0\).
-
Soit \(p(z) = z^3 - 6z^2 + 12z - 16\).
-
Trouver \(a, b \in \mathbb{R}\) tels que \(p(z) = (z - 4)(z^2 + az + b)\).
-
Résoudre \(p(z) = 0\) dans \(\mathbb{C}\).
-
À faire à la maison
Considérer dans \(\mathbb{C}\) l’équation \((E) : z^2 - 2(\sqrt{2} + \sqrt{6})\,z + 16 = 0\).
-
Vérifier que \(\Delta = -4(\sqrt{6} - \sqrt{2})^2\).
-
En déduire les solutions de \((E)\).
-
Soit \(a = (\sqrt{6} + \sqrt{2}) + i(\sqrt{6} - \sqrt{2})\). Vérifier que \(a\) est une solution de \((E)\).
-
Calculer \(|a|\) et déterminer \(\arg(a)\) ; en déduire que \(a = 4\!\left(\cos\dfrac{\pi}{12} + i\sin\dfrac{\pi}{12}\right)\).
-
Soit \(p(z) = z^3 - 2z^2 + z - 2\). Trouver \(\alpha, \beta \in \mathbb{R}\) tels que \(p(z) = (z - 2)(z^2 + \alpha z + \beta)\), puis résoudre \(p(z) = 0\) dans \(\mathbb{C}\).
Transformations complexes du plan
Translation, homothétie, rotation
Définition
Translation \(t_{\vec{u}}\) de vecteur \(\vec{u}(z_{\vec{u}})\) :
\[M(z) \mapsto M'(z') \quad\Longleftrightarrow\quad z' = z + z_{\vec{u}}.\]
Définition
Homothétie \(h\) de centre \(\Omega(z_\Omega)\), rapport \(k \in \mathbb{R}^*\) :
\[M(z) \mapsto M'(z') \quad\Longleftrightarrow\quad z' - z_\Omega = k\,(z - z_\Omega) \quad\Longleftrightarrow\quad z' = kz + z_\Omega(1-k).\]
Définition
Rotation \(R\) de centre \(\Omega(z_\Omega)\), angle \(\theta\) :
\[M(z) \mapsto M'(z') \quad\Longleftrightarrow\quad z' - z_\Omega = e^{i\theta}\,(z - z_\Omega) \quad\Longleftrightarrow\quad z' = e^{i\theta}\,z + z_\Omega(1 - e^{i\theta}).\]
Tableau récapitulatif
| Transformation | Écriture complexe | Reconnaissance |
|---|---|---|
| Translation \(\vec{u}(z_{\vec{u}})\) | \(z' = z + z_{\vec{u}}\) | \(z' = z + b\) |
| Homothétie \((\Omega, k)\), \(k \in \mathbb{R}^*\), \(k \neq 1\) | \(z' = kz + z_\Omega(1-k)\) | \(z' = a z + b\), \(a \in \mathbb{R}^* \setminus \{1\}\) |
| Rotation \((\Omega, \theta)\), \(\theta \neq 0\,[2\pi]\) | \(z' = e^{i\theta} z + z_\Omega(1 - e^{i\theta})\) | \(z' = a z + b\), \(|a| = 1\), \(a \neq 1\) |
Exemple
Identifier la transformation \(z' = -iz + i - 1\).
Application
Identifier les transformations :
-
\(z' = z - 3i\)
-
\(z' + 2i = -5(z + 2i)\)
-
\(z' = 1 - z\)
-
\(z' = 4z - 3i\)
À faire à la maison
Soient \(A(z_A)\), \(B(z_B)\), \(C(z_C)\) d’affixes \(z_A = \sqrt{3} - i\), \(z_B = -z_A\), \(z_C = \sqrt{3} + 3i\) et \(D\) le symétrique de \(C\) par rapport à l’axe réel.
-
Calculer \(\dfrac{z_A - z_D}{z_A - z_C}\) et en déduire que \(A\), \(D\), \(C\) sont alignés.
-
Vérifier que \(\dfrac{z_C - z_A}{z_B - z_A} = \dfrac{1 - i\sqrt{3}}{2}\).
-
Montrer que le triangle \(ABC\) est équilatéral.
-
Considérons la rotation \(R\) de centre \(O\) et d’angle \(\dfrac{\pi}{6}\). Déterminer l’écriture complexe de \(R\), puis l’image de \(A\).
-
Soit la transformation \(F : z' = iz + 1 + i\). Identifier \(F\), déterminer son centre \(\Omega\) et son angle.