Série d’exercices

Calculer les intégrales suivantes :

1. \(\displaystyle\int_{0}^{2} (3x^2 - 2x + 1)\,dx\)

2. \(\displaystyle\int_{1}^{3} \!\left(\dfrac{2}{x^2} + \dfrac{1}{x}\right) dx\)

3. \(\displaystyle\int_{0}^{2} \sqrt{x + 4}\,dx\)

4. \(\displaystyle\int_{1}^{e^2} \dfrac{3}{x}\,dx\)

5. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/6} \sin(3x)\,dx\)

6. \(\displaystyle\int_{0}^{1} e^x\,\sqrt{e^x + 1}\,dx\)

Calculer les intégrales :

1. \(\displaystyle\int_{0}^{1} x^2 \sqrt{x^3 + 1}\,dx\)

2. \(\displaystyle\int_{e}^{e^3} \dfrac{1}{x \ln x}\,dx\)

3. \(\displaystyle\int_{0}^{\ln 2} \dfrac{e^{2x}}{e^{2x} + 3}\,dx\)

4. \(\displaystyle\int_{1}^{2} \dfrac{x - 1}{x^2 - 2x + 2}\,dx\)

5. \(\displaystyle\int_{0}^{1} (1 - x)\,e^{x^2 - 2x + 3}\,dx\)

6. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/6} \cos x \cdot \sin^5 x\,dx\)

1. Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + x - 3}{x + 2}\) sur \(\mathbb{R} \setminus \{-2\}\).

   1. Déterminer les réels \(a, b, c\) tels que \(f(x) = a x + b + \dfrac{c}{x + 2}\).

   2. En déduire \(\displaystyle\int_{0}^{1} f(x)\,dx\).

2. Calculer \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{x + 2}{x^2 + 4x + 5}\,dx\).

Calculer :

1. \(\displaystyle\int_{-2}^{3} |x - 1|\,dx\)

2. \(\displaystyle\int_{0}^{2} |x^2 - 1|\,dx\)

3. \(\displaystyle\int_{0}^{\pi} |\cos x|\,dx\)

4. \(\displaystyle\int_{0}^{\ln 3} |e^{x} - 2|\,dx\)

1. Linéariser \(\cos^3 x\) et \(\sin^4 x\).

2. En déduire \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^3 x\,dx\) et \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^4 x\,dx\).

3. Vérifier que \(\sin^2 x \cos^3 x = \cos x \sin^2 x - \cos x \sin^4 x\), puis calculer \(\displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x \cos^3 x\,dx\).

Calculer par IPP :

1. \(I_1 = \displaystyle\int_{0}^{1} (2x + 1)\,e^x\,dx\)

2. \(I_2 = \displaystyle\int_{1}^{e} \ln x\,dx\)

3. \(I_3 = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} x \sin x\,dx\)

4. \(I_4 = \displaystyle\int_{1}^{e} \dfrac{\ln x}{x^2}\,dx\)

5. \(I_5 = \displaystyle\int_{0}^{1} (x + 1)\,e^{2x}\,dx\)

6. \(I_6 = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} e^x \cos x\,dx\)

Soient \(A = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \cos^2 x\,dx\) et \(B = \displaystyle\int_{0}^{\pi/2} \sin^2 x\,dx\).

1. Calculer \(A + B\) et \(A - B\).

2. En déduire les valeurs de \(A\) et \(B\).

3. Soient \(I = \displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \cos(3x) \cos x\,dx\) et \(J = \displaystyle\int_{0}^{\pi/4} \sin(3x) \sin x\,dx\).

   1. Vérifier que \(\cos(3x)\cos x + \sin(3x)\sin x = \cos(2x)\) et que \(\cos(3x)\cos x - \sin(3x)\sin x = \cos(4x)\).

   2. Calculer \(I + J\) et \(I - J\), puis en déduire \(I\) et \(J\).

1. Montrer que \(\displaystyle\int_{0}^{1} e^{x^2}\,dx \geq 1\).

2. Montrer que pour tout \(x \in [0\,;1]\), \(\dfrac{1}{2} \leq \dfrac{1}{1 + x^2} \leq 1\), et en déduire un encadrement de \(\displaystyle\int_{0}^{1} \dfrac{1}{1 + x^2}\,dx\).

3. Calculer la valeur moyenne de \(f(x) = (2x + 1)^3\) sur \([0\,;1]\).

4. Calculer la valeur moyenne de \(g(x) = \dfrac{e^x}{(e^x + 1)^2}\) sur \([0\,;\ln 2]\).

Le plan est rapporté à un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j})\) d’unité \(1\) cm.

1. Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine délimité par la courbe de \(f(x) = x^2 - 2x\), l’axe \((Ox)\) et les droites \(x = 0\) et \(x = 3\).

2. Soient \(f(x) = e^x\) et \(g(x) = e^{-x}\). Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine \((\Delta)\) délimité par \((\mathcal{C}_f)\), \((\mathcal{C}_g)\), \(x = 0\) et \(x = 1\).

3. Calculer en cm\(^2\) l’aire du domaine délimité par la courbe de \(f(x) = \ln x\), l’axe \((Ox)\) et les droites \(x = \dfrac{1}{e}\) et \(x = e\).

1. Calculer le volume du solide engendré par la rotation de la courbe \(f(x) = \sqrt{x + 1}\) sur \([0\,;3]\) autour de l’axe \((Ox)\).

2. Calculer le volume engendré par la rotation de \(f(x) = x e^{-x}\) sur \([0\,;1]\) autour de \((Ox)\) (indication : IPP double sur \(x^2 e^{-2x}\)).

3. Calculer le volume engendré par la rotation de \(g(x) = \sin x\) sur \([0\,;\pi]\) autour de \((Ox)\) (indication : linéariser \(\sin^2 x\)).