Série d’exercices
Vecteurs de l'espace
1ère Bac
Le barycentre
Le point d'équilibre
Le barycentre est le centre de gravité d'un système de points pondérés. Augmentez le coefficient d'un sommet et le point d'équilibre se déplace vers lui, exactement comme une balance. Le mode à trois points montre que le barycentre reste toujours à l'intérieur du triangle tant que les coefficients sont positifs.
Définition
\[ \alpha \overrightarrow{GA} + \beta \overrightarrow{GB} = \vec{0} \qquad (\alpha + \beta \neq 0) \]
L'essentiel
- Position
- \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha + \beta}\overrightarrow{AB}\)
- Coordonnées
- \(x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha + \beta}\)
- Isobarycentre
- coefficients égaux, \(G\) est le milieu ou le centre de gravité
- Réduction
- \(\alpha \overrightarrow{MA} + \beta \overrightarrow{MB} = (\alpha + \beta)\overrightarrow{MG}\)
Ce qu'il faut retenir
- La condition \(\alpha + \beta \neq 0\) est indispensable. Sans elle le barycentre n'existe pas.
- Le barycentre se rapproche du point dont le coefficient est le plus grand, comme une masse plus lourde attire le point d'équilibre.
- La propriété de réduction transforme une somme vectorielle en un seul vecteur. C'est elle qui sert dans les recherches d'ensembles de points.
- Avec des coefficients tous positifs, le barycentre de trois points reste à l'intérieur du triangle.
Les pièges classiques
- Oublier de vérifier que la somme des coefficients est non nulle avant de conclure à l'existence.
- Inverser les coefficients dans la formule de position. Le coefficient de \(B\) apparaît au numérateur de \(\overrightarrow{AG}\).
- Croire que multiplier tous les coefficients par un même réel non nul change le barycentre. Il reste identique.
- Confondre barycentre et milieu quand les coefficients sont différents.
Le cours correspondant.
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