Série d’exercices
Les nombres complexes
2ème Bac
Le plan complexe
Module, argument et rotation
Un nombre complexe est un point du plan, et sa multiplication est une transformation géométrique. Le mode multiplication montre la règle qui gouverne tout le chapitre : les modules se multiplient, les arguments s'additionnent. Une rotation composée d'une homothétie, en une seule opération.
Définition
\[ z = a + ib = r(\cos\theta + i\sin\theta) = re^{i\theta} \]
L'essentiel
- Module
- \(|z| = \sqrt{a^2 + b^2}\)
- Conjugué
- \(\bar{z} = a - ib\), symétrique par rapport à l'axe réel
- Produit
- \(|zz'| = |z|\,|z'|\) et \(\arg(zz') = \arg z + \arg z'\)
- Module carré
- \(z\bar{z} = |z|^2\)
- Distance
- \(AB = |z_B - z_A|\)
Ce qu'il faut retenir
- Le module est une distance à l'origine, l'argument est un angle mesuré depuis l'axe des réels dans le sens direct.
- Multiplier par \(i\) revient à tourner d'un quart de tour dans le sens direct, sans changer la longueur.
- La forme algébrique sert aux sommes, la forme trigonométrique ou exponentielle sert aux produits et aux puissances.
- Une différence de deux affixes représente un vecteur, donc son module est une distance. C'est la clé des exercices de géométrie.
Les pièges classiques
- Écrire \(|z + z'| = |z| + |z'|\). L'égalité n'est vraie que si les deux vecteurs sont de même sens.
- Donner un argument sans préciser qu'il est défini modulo \(2\pi\).
- Chercher un argument pour \(z = 0\), qui n'en a pas.
- Utiliser la forme algébrique pour élever à une grande puissance, alors que la forme exponentielle rend le calcul immédiat.
Le cours correspondant.
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