Série d’exercices
Géométrie analytique dans l'espace
1ère Bac
Le produit scalaire
Une projection qui devient un nombre
Le produit scalaire mesure à quel point deux vecteurs pointent dans la même direction. Sa valeur est la longueur du premier vecteur multipliée par la longueur de la projection du second sur lui. Faites tourner le vecteur et observez la projection se retourner exactement quand le produit devient négatif.
Définition
\[ \vec{u} \cdot \vec{v} = \|\vec{u}\| \, \|\vec{v}\| \cos(\widehat{\vec{u},\vec{v}}) \]
L'essentiel
- En coordonnées
- \(\vec{u} \cdot \vec{v} = xx' + yy'\)
- Norme
- \(\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2\)
- Orthogonalité
- \(\vec{u} \perp \vec{v} \iff \vec{u} \cdot \vec{v} = 0\)
- Symétrie
- \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}\)
- Projection
- \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \overline{OH} \times \|\vec{u}\|\)
Ce qu'il faut retenir
- Le signe du produit scalaire est le signe du cosinus : positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit, négatif pour un angle obtus.
- Le critère d'orthogonalité est l'usage le plus fréquent au Bac. Il remplace tout calcul d'angle.
- La forme en coordonnées et la forme avec le cosinus sont la même quantité. On choisit celle qui donne le calcul le plus court.
- Le produit scalaire d'un vecteur avec lui même donne le carré de sa norme, ce qui sert à calculer des longueurs.
Les pièges classiques
- Écrire \(\vec{u} \cdot \vec{v}\) comme un vecteur. Le produit scalaire est un nombre réel.
- Simplifier par un vecteur dans une égalité. De \(\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{u} \cdot \vec{w}\) on ne peut pas déduire \(\vec{v} = \vec{w}\).
- Oublier le cosinus et multiplier simplement les deux normes.
- Se tromper de signe sur l'angle obtus, où le cosinus et donc le produit scalaire sont négatifs.
Le cours correspondant.
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