Série d’exercices
Dénombrement
2ème Bac
La loi binomiale
Compter les succès
La loi binomiale compte les succès dans une répétition d'épreuves identiques et indépendantes. Faites varier \(n\) et \(p\) pour voir le diagramme se déplacer et s'étaler : le pic se place toujours autour de l'espérance \(np\).
Définition
\[ P(X = k) = \binom{n}{k} p^{k}(1-p)^{\,n-k} \]
L'essentiel
- Paramètres
- \(X \sim \mathcal{B}(n\,;\,p)\)
- Espérance
- \(E(X) = np\)
- Variance
- \(V(X) = np(1-p)\)
- Écart type
- \(\sigma = \sqrt{np(1-p)}\)
- Coefficient
- \(\binom{n}{k} = \dfrac{n!}{k!\,(n-k)!}\)
Ce qu'il faut retenir
- Quatre conditions doivent être réunies : des épreuves identiques, indépendantes, à deux issues, et répétées un nombre fixé de fois.
- Le coefficient binomial compte les chemins de l'arbre qui mènent à exactement \(k\) succès.
- La somme de toutes les probabilités vaut \(1\), ce qui donne un moyen de contrôle rapide.
- Pour \(p = 0{,}5\) le diagramme est symétrique. Il penche à gauche pour \(p 0{,}5\).
Les pièges classiques
- Appliquer la loi binomiale à un tirage sans remise, où les épreuves ne sont plus indépendantes.
- Oublier le coefficient binomial et ne garder que \(p^k(1-p)^{n-k}\), ce qui ne compte qu'un seul chemin.
- Confondre \(P(X = k)\) et \(P(X \leqslant k)\). Les énoncés en français demandent souvent « au plus » ou « au moins ».
- Traduire « au moins un succès » par \(P(X = 1)\) au lieu de \(1 - P(X = 0)\).
Le cours correspondant.
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