Série d’exercices
Produit scalaire dans l'espace
2ème Bac
L'équation d'un plan
Le vecteur normal se lit dans l'équation
Une équation cartésienne de plan porte son vecteur normal en clair : ce sont les trois premiers coefficients. Ce lien est ce qui rend les calculs de distance et d'angle si courts en 2ème Bac. Faites varier les coefficients et regardez la normale accompagner le plan.
Définition
\[ ax + by + cz + d = 0, \qquad \vec{n}(a\,;\,b\,;\,c) \perp \mathcal{P} \]
L'essentiel
- Vecteur normal
- \(\vec{n}(a\,;\,b\,;\,c)\)
- Distance
- \(d(A\,;\,\mathcal{P}) = \dfrac{|ax_A+by_A+cz_A+d|}{\sqrt{a^2+b^2+c^2}}\)
- Plans parallèles
- Vecteurs normaux colinéaires
- Plans perpendiculaires
- \(\vec{n} \cdot \vec{n}' = 0\)
- Sphère
- Tangente au plan quand la distance au centre vaut le rayon
Ce qu'il faut retenir
- Pour écrire l'équation d'un plan, il suffit d'un point et d'un vecteur normal. Les trois premiers coefficients sont les coordonnées de la normale.
- Multiplier toute l'équation par un réel non nul ne change pas le plan. L'équation cartésienne n'est donc pas unique.
- La distance d'un point au plan se mesure le long de la normale, jamais autrement.
- Le produit vectoriel de deux vecteurs du plan donne directement un vecteur normal, ce qui évite de résoudre un système.
Les pièges classiques
- Oublier la valeur absolue au numérateur de la distance, et obtenir une distance négative.
- Oublier de diviser par la norme de \(\vec{n}\), ce qui donne un nombre sans signification géométrique.
- Prendre \(d\) pour la distance à l'origine. Ce n'est vrai que si \(\vec{n}\) est unitaire.
- Confondre l'équation d'un plan et celle d'une droite de l'espace, qui demande un système de deux équations.
Le cours correspondant.
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