Série d’exercices
Généralités sur les suites numériques
2ème Bac
Les suites arithmético-géométriques
Un point fixe, puis une suite géométrique
Une suite définie par \(u_{n+1} = a u_n + b\) n'est ni arithmétique ni géométrique. La méthode du programme consiste à lui retrancher son point fixe : la suite auxiliaire obtenue, elle, est géométrique de raison \(a\), et tout se déduit de là. La figure montre les deux à la fois.
Définition
\[ u_{n+1} = a\,u_n + b, \qquad \ell = \dfrac{b}{1 - a} \quad (a \neq 1) \]
L'essentiel
- Point fixe
- \(\ell = a\ell + b\) donc \(\ell = \dfrac{b}{1-a}\)
- Suite auxiliaire
- \(v_n = u_n - \ell\) est géométrique de raison \(a\)
- Terme général
- \(u_n = (u_0 - \ell)a^{\,n} + \ell\)
- Convergence
- \(|a| < 1 \Rightarrow \lim u_n = \ell\)
- Cas \(a = 1\)
- La suite est arithmétique de raison \(b\), sans point fixe
Ce qu'il faut retenir
- Le point fixe se trouve en résolvant \(x = ax + b\), c'est à dire en cherchant l'intersection de la droite \(y = ax+b\) avec la première bissectrice.
- Le graphe en escalier montre la convergence sans aucun calcul : si la droite est moins pentue que la bissectrice, l'escalier se resserre vers le point fixe.
- Une fois \(v_n\) reconnue géométrique, le terme général de \(u_n\) suit immédiatement, et la limite avec.
- Le signe de \(a\) décide de la forme : escalier pour \(a > 0\), spirale pour \(a < 0\).
Les pièges classiques
- Traiter la suite comme géométrique parce qu'il y a un facteur \(a\). Le terme \(+b\) l'en empêche.
- Utiliser \(\ell = \dfrac{b}{1-a}\) quand \(a = 1\), où la division est impossible et la suite est en fait arithmétique.
- Poser \(v_n = u_n + \ell\) au lieu de \(u_n - \ell\), ce qui ne donne pas une suite géométrique.
- Conclure à la convergence sans vérifier \(|a| 1\) la suite s'éloigne du point fixe.
Le cours correspondant.
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