Série d’exercices
Généralités sur les suites numériques
1ère Bac
2ème Bac
Les suites numériques
Arithmétique, géométrique, récurrente
Une suite arithmétique avance par pas constants, une suite géométrique avance par facteurs constants. Cette seule différence sépare une croissance linéaire d'une croissance exponentielle. Le mode escalier montre en plus comment une suite définie par récurrence converge vers son point fixe.
Définition
\[ u_{n+1} = u_n + r \quad \text{(arithmétique)} \qquad u_{n+1} = q\,u_n \quad \text{(géométrique)} \]
L'essentiel
- Terme général arithmétique
- \(u_n = u_0 + nr\)
- Terme général géométrique
- \(u_n = u_0 \, q^{\,n}\)
- Somme arithmétique
- \(S = \dfrac{(\text{nb termes})(\text{1er} + \text{dernier})}{2}\)
- Somme géométrique
- \(S = u_0 \dfrac{1 - q^{\,n+1}}{1 - q}\), \(q \neq 1\)
- Convergence géométrique
- \(|q| < 1 \Rightarrow \lim q^{\,n} = 0\)
Ce qu'il faut retenir
- Pour reconnaître la nature d'une suite : calculez \(u_{n+1} - u_n\) pour tester l'arithmétique, puis \(\dfrac{u_{n+1}}{u_n}\) pour tester la géométrique.
- Les points d'une suite arithmétique sont alignés. Ceux d'une suite géométrique suivent une courbe exponentielle.
- Une suite géométrique converge vers zéro si et seulement si sa raison est strictement comprise entre \(-1\) et \(1\).
- Dans le graphe en escalier, l'intersection de la courbe et de la droite \(y = x\) est le point fixe, c'est à dire la limite éventuelle.
Les pièges classiques
- Utiliser \(u_n = u_0 + nr\) alors que la suite commence à \(u_1\). L'indice de départ change la formule.
- Appliquer la somme géométrique avec \(q = 1\), où la formule n'est pas définie. La somme vaut alors simplement \(n u_0\).
- Conclure à la convergence sans vérifier \(|q| < 1\). Une raison négative de valeur absolue supérieure à \(1\) fait diverger en oscillant.
- Confondre le sens de variation et la convergence. Une suite peut décroître sans converger.
Le cours correspondant.
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