Cours 1ère Bac S.Exp

Barycentre

6 min de lecture · Le barycentre dans le plan
Télécharger le PDF · 43 Ko
Table des matières
  1. Barycentre de deux points pondérés
  2. Barycentre de trois points pondérés
  3. Barycentre de quatre points pondérés

Barycentre de deux points pondérés

Définition

Soient \((A;\alpha)\) et \((B;\beta)\) deux points pondérés tels que \(\alpha + \beta \neq 0\).

  • Existence et unicité. Il existe un unique point \(G\) vérifiant \(\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} = \overrightarrow{0}\). Le point \(G\) est appelé barycentre du système \(\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) et l’on note \(G = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\).

  • Position de \(G\). \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{BG} = \dfrac{\alpha}{\alpha+\beta}\overrightarrow{BA}\). Si \(A \neq B\), les points \(A\), \(B\) et \(G\) sont alignés.

Proposition

Soient \((A;\alpha)\) et \((B;\beta)\) deux points pondérés tels que \(\alpha+\beta \neq 0\).

  • Homogénéité. Pour tout \(k \in \mathbb{R}^*\) : \(\mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\} = \mathrm{bar}\{(A;k\alpha),(B;k\beta)\}\).

  • Caractérisation. Pour tout point \(M\) du plan :
    \[\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} = (\alpha+\beta)\overrightarrow{MG}.\]

  • Coordonnées. Dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\), si \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) :
    \[x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B}{\alpha+\beta}, \quad y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B}{\alpha+\beta}.\]

  • Construction. La relation \(\overrightarrow{AG}=\dfrac{\beta}{\alpha+\beta}\overrightarrow{AB}\) permet de construire \(G\) sur la droite \((AB)\). Il appartient au segment \([AB]\) lorsque \(\alpha\) et \(\beta\) sont de même signe, et il est extérieur à ce segment lorsqu’ils sont de signes contraires.

Exemple

Soient \(A(2;-5)\) et \(B(4;3)\) deux points dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).

  1. Déterminer une paire de coefficients \((\alpha;\beta)\) pour que \(G = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) vérifie \(\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} = 2\overrightarrow{AB}\).

  2. Soit \(G = \mathrm{bar}\{(A;3),(B;6)\}\). Calculer les coordonnées de \(G\).

  3. Soit \(G' = \mathrm{bar}\{(A;-2),(B;1)\}\). Calculer les coordonnées de \(G'\).

  4. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|2\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\| = 6\).

Application

Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts du plan.

  1. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que :
    \[\|3\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB}\| = \|-2\overrightarrow{MA} + 6\overrightarrow{MB}\|.\]

  2. Déterminer une paire de coefficients \((\alpha;\beta)\) pour que \(G = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\) vérifie \(-7\overrightarrow{GA} + 3\overrightarrow{GB} = 10\overrightarrow{AB}\).

Barycentre de trois points pondérés

Définition

Soient \((A;\alpha)\), \((B;\beta)\) et \((C;\gamma)\) trois points pondérés tels que \(\alpha+\beta+\gamma \neq 0\).
Il existe un unique point \(G\) vérifiant :
\[\alpha\overrightarrow{GA} + \beta\overrightarrow{GB} + \gamma\overrightarrow{GC} = \overrightarrow{0}.\]
Le point \(G\) est appelé barycentre du système \(\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}\).

Proposition

Avec les hypothèses précédentes :

  • Position. \(\overrightarrow{AG} = \dfrac{\beta}{\alpha+\beta+\gamma}\overrightarrow{AB} + \dfrac{\gamma}{\alpha+\beta+\gamma}\overrightarrow{AC}\) (et formules analogues à partir de \(B\) et de \(C\)).

  • Homogénéité. Pour tout \(k \in \mathbb{R}^*\) : \(\mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\} = \mathrm{bar}\{(A;k\alpha),(B;k\beta),(C;k\gamma)\}\).

  • Caractérisation. Pour tout point \(M\) du plan :
    \[\alpha\overrightarrow{MA} + \beta\overrightarrow{MB} + \gamma\overrightarrow{MC} = (\alpha+\beta+\gamma)\overrightarrow{MG}.\]

  • Coordonnées. Dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\) :
    \[x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C}{\alpha+\beta+\gamma}, \quad y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C}{\alpha+\beta+\gamma}.\]

  • Associativité. Si \(\alpha+\beta \neq 0\), en posant \(H = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta)\}\), on a :
    \[\mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\} = \mathrm{bar}\{(H;\alpha+\beta),(C;\gamma)\}.\]

  • Centre de gravité. Le barycentre de \(\{(A;1),(B;1),(C;1)\}\) est le centre de gravité du triangle \(ABC\). Il se trouve aux deux tiers de chaque médiane à partir du sommet.

L’associativité ramène la construction d’un barycentre de trois points à deux constructions successives de barycentres de deux points.

Exemple

Soient \(A(1;4)\), \(B(0;5)\) et \(C(2;-1)\) trois points du plan dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).

  1. Déterminer un triplet de coefficients \((\alpha;\beta;\gamma)\) pour que \(G = \mathrm{bar}\{(A;\alpha),(B;\beta),(C;\gamma)\}\) vérifie \(\overrightarrow{GA} + \overrightarrow{GB} + 2\overrightarrow{GC} = 3\overrightarrow{AB} - \overrightarrow{AC}\).

  2. Calculer les coordonnées du point \(G' = \mathrm{bar}\{(A;2),(B;-3),(C;-6)\}\).

  3. Déterminer l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\|\overrightarrow{MA} + \overrightarrow{MB} + \overrightarrow{MC}\| = 4\).

Application

Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(K\) le point défini par \(\overrightarrow{BK} = -\dfrac{4}{3}\overrightarrow{BC}\) et \(G = \mathrm{bar}\{(A;3),(B;7),(C;-4)\}\).

  1. Vérifier que \(K = \mathrm{bar}\{(B;7),(C;-4)\}\).

  2. En déduire que \(G\) est le milieu du segment \([AK]\).

Exercice n°1

\(ABC\) est un triangle. \(G = \mathrm{bar}\{(A;-2),(B;3),(C;3)\}\). Soient \(K\) et \(H\) tels que \(\overrightarrow{AK} = 3\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AH} = 3\overrightarrow{AC}\), et \(I\) le milieu de \([BC]\).

  1. Vérifier que \(K = \mathrm{bar}\{(A;-2),(B;3)\}\) et \(H = \mathrm{bar}\{(A;-2),(C;3)\}\).

  2. Montrer que \(G = \mathrm{bar}\{(K;1),(C;3)\}\), \(G = \mathrm{bar}\{(H;1),(B;3)\}\) et \(G = \mathrm{bar}\{(A;-1),(I;3)\}\).

  3. En déduire que les droites \((CK)\), \((BH)\) et \((AI)\) sont concourantes en un point que l’on déterminera.

Barycentre de quatre points pondérés

Définition

La définition, l’homogénéité, la caractérisation et l’associativité du barycentre de trois points pondérés se généralisent au barycentre de quatre points pondérés \((A;\alpha)\), \((B;\beta)\), \((C;\gamma)\) et \((D;\lambda)\), lorsque \(\alpha+\beta+\gamma+\lambda \neq 0\).

Dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\), ses coordonnées sont :
\[x_G = \dfrac{\alpha x_A + \beta x_B + \gamma x_C + \lambda x_D}{\alpha+\beta+\gamma+\lambda}, \quad y_G = \dfrac{\alpha y_A + \beta y_B + \gamma y_C + \lambda y_D}{\alpha+\beta+\gamma+\lambda}.\]

Exemple

Construire le barycentre des points \((A;-1)\), \((B;3)\), \((C;-1)\) et \((D;2)\).

Application

Soient \(A(0;0)\), \(B(4;0)\), \(C(4;4)\) et \(D(0;4)\) les sommets d’un carré dans un repère \((O;\vec{i};\vec{j})\).

  1. Calculer les coordonnées de \(G = \mathrm{bar}\{(A;1),(B;1),(C;1),(D;1)\}\).

  2. Calculer les coordonnées de \(G' = \mathrm{bar}\{(A;1),(B;2),(C;1),(D;2)\}\).

  3. Comparer les positions de \(G\) et \(G'\) par rapport au centre du carré.

À retenir

Remarque

Pour qu’un système pondéré admette un barycentre, la somme de ses coefficients doit être non nulle.

  • La relation caractéristique permet de simplifier une somme de vecteurs :
    \[\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\overrightarrow{MA_i} =\left(\sum_{i=1}^{n}\alpha_i\right)\overrightarrow{MG}.\]

  • Multiplier tous les coefficients par un même réel non nul ne change pas le barycentre.

  • L’associativité permet de regrouper des points et facilite les constructions, ainsi que les preuves d’alignement et de concours.

  • Dans un repère, chaque coordonnée de \(G\) est la moyenne pondérée des coordonnées des points du système.

S’entraîner avec la série d’exercices du chapitre Barycentre.

Ressources liées

Série d'exercices

Série d’exercices
Programme complet

Voir tous les cours de maths 1ère Bac S.Exp
Ressource précédente
Généralités sur les fonctions
Ressource suivante
Produit scalaire dans le plan