Correction de l’évaluation diagnostique : 1ère Bac Sciences

A. Calcul littéral et numérique

1. \[\begin{aligned} (x+1)^2&=x^2+2x+1, & (1-x)^2&=x^2-2x+1,\\ (x+2)^3&=x^3+6x^2+12x+8, &(x+2)(3x-4)&=3x^2+2x-8. \end{aligned}\]

2. \[x^2-7x=x(x-7),\qquad x^2-9=(x-3)(x+3),\qquad x^3-8=(x-2)(x^2+2x+4).\]

3. \[\begin{gathered} \frac45+\frac67=\frac{58}{35},\qquad \frac45-\frac67=-\frac2{35},\qquad 5+\frac67=\frac{41}{7},\\ \frac45-2=-\frac65,\qquad -3+\frac67=-\frac{15}{7},\qquad -\frac45-4=-\frac{24}{5}. \end{gathered}\]

B. Encadrements

Comme \(2<x<5\) et \(1<y<4\),
\[-1<\frac{-3}{x+1}< -\frac12,\qquad -2<x-y<4,\qquad \frac15<\frac yx<2.\]

C. Équation

\[2x-5=5x-1\iff -3x=4\iff x=-\frac43,\qquad S=\left\{-\frac43\right\}.\]

D. Inéquation

\[2x-5\leq5x-1\iff -3x\leq4\iff x\geq-\frac43,\qquad S=\left[-\frac43;+\infty\right[.\]

E. Équation du second degré

Pour \((E):ax^2+bx+c=0\), \(a\neq0\) :

• \(\Delta=b^2-4ac\).

• Si \(\Delta=0\), \((E)\) admet l’unique solution \(x=-\dfrac b{2a}\).

• Si \(\Delta>0\), \((E)\) admet deux solutions
  \(x_1=\dfrac{-b+\sqrt\Delta}{2a}\) et
  \(x_2=\dfrac{-b-\sqrt\Delta}{2a}\).

• Si \(\Delta<0\), \((E)\) n’admet aucune solution réelle.

F. Signe d’un trinôme

\[x^2-3x-10=(x+2)(x-5).\]
Le coefficient dominant est positif. Le trinôme est donc strictement positif à l’extérieur de ses racines :
\[S=]-\infty;-2[\,\cup\,]5;+\infty[.\]

G. Intervalles

\[\begin{array}{|c|c|}\hline 2\leq x\leq4 &[2;4]\\ 2\leq x<4 &[2;4[\\ 2<x\leq4 &]2;4]\\ 2<x<4 &]2;4[\\ x\geq4 &[4;+\infty[\\ x\leq4 &]-\infty;4]\\ x>4 &]4;+\infty[\\ x<4 &]-\infty;4[\\ \hline \end{array}\]

H. Trigonométrie

Les affirmations vraies sont les numéros \(2\), \(3\), \(5\), \(8\), \(9\), \(11\) et \(23\).
\[\begin{gathered} \cos0=1,\quad \cos\frac\pi2=0,\quad \cos\frac\pi3=\frac12, \quad \cos\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2},\quad \cos\frac\pi6=\frac{\sqrt3}{2},\\ \sin0=0,\quad \sin\frac\pi2=1,\quad \sin\frac\pi3=\frac{\sqrt3}{2}, \quad \sin\frac\pi4=\frac{\sqrt2}{2},\quad \sin\frac\pi6=\frac12. \end{gathered}\]