Dérivation
Table des matières
Dérivabilité d’une fonction en un point
Nombre dérivé
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle ouvert \(I\) et \(a \in I\).
On dit que \(f\) est dérivable en \(a\) s’il existe un réel \(L\) tel que :
\[\lim_{x \to a} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = L\]
Le réel \(L\) est appelé nombre dérivé de \(f\) en \(a\), noté \(f'(a)\).
Exemple
Soit \(f(x)=x^2\). En utilisant la définition du nombre dérivé, étudier la dérivabilité de \(f\) en \(1\) et déterminer \(f'(1)\).
Application
Montrer que \(f\) est dérivable en \(a\) et déterminer \(f'(a)\) :
-
\(f(x)=x^2 \;;\; a=\sqrt{2}\)
-
\(f(x)=x^3 \;;\; a=1\)
Tangente à la courbe représentative
Définition
Soit \(f\) dérivable en \(a \in I\). La tangente à la courbe de \(f\) au point \(A(a\,;\,f(a))\) est la droite de coefficient directeur \(f'(a)\). Son équation est :
\[(T) :\quad y = f'(a)(x-a)+f(a)\]
Exemple
Soit \(f(x)=x^2\). Déterminer une équation de la tangente à sa courbe au point d’abscisse \(1\).
Application
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=1-x^2\). Déterminer une équation de la tangente à la courbe de \(f\) au point d’abscisse \(1\).
Dérivabilité à droite et à gauche
Définition
-
\(f\) est dérivable à droite en \(a\) si :
\[\lim_{\substack{x \to a \\ x > a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = L \in \mathbb{R}\]
On note ce réel \(f'_d(a)\). -
\(f\) est dérivable à gauche en \(a\) si :
\[\lim_{\substack{x \to a \\ x < a}} \dfrac{f(x)-f(a)}{x-a} = L \in \mathbb{R}\]
On note ce réel \(f'_g(a)\).
Proposition
\(f\) est dérivable en \(a\) si et seulement si elle est dérivable à droite et à gauche en \(a\), et \(f'_d(a) = f'_g(a)\).
Exemple
Soit \(f(x)=|x|\). Calculer \(f'_d(0)\) et \(f'_g(0)\), puis conclure sur la dérivabilité de \(f\) en \(0\).
Application
Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par :
\[f(x)=\begin{cases} x^2 & \text{si } x \leq 0 \\ -x^2 & \text{si } x > 0 \end{cases}\]
Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\).
Approximation affine locale
Définition
Soit \(f\) dérivable en \(a \in I\). La fonction \(x \mapsto f'(a)(x-a)+f(a)\) est appelée fonction affine tangente de \(f\) en \(a\). Une approximation affine de \(f\) au voisinage de \(a\) est donnée par :
\[f(x) \approx f'(a)(x-a)+f(a)\]
Exemple
Déterminer l’approximation affine de \(f(x)=x^2\) au voisinage de \(1\), puis l’utiliser pour donner une valeur approchée de \((1{,}001)^2\).
Application
Soit \(f(x)=(x+1)^2\).
-
Montrer que \(f\) est dérivable en \(a=0\) et en \(b=1\).
-
Expliciter les fonctions affines tangentes de \(f\) en \(a\) et en \(b\).
-
Donner une approximation affine de \((1{,}0004)^2\) et de \((2{,}00001)^2\).
Fonction dérivée, opérations et formules
Fonction dérivée et dérivées usuelles
Définition
Soit \(f\) dérivable sur \(I\). La fonction dérivée de \(f\), notée \(f'\), est définie sur \(I\) par :
\[f' : x \longmapsto f'(x)\]
Remarque
| La fonction \(f\) | \(D_f\) | La fonction \(f'\) | \(D_{f'}\) |
|---|---|---|---|
| \(c\) (constante) | \(\mathbb{R}\) | \(0\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(x^n \;(n \in \mathbb{N}^*)\) | \(\mathbb{R}\) | \(n\,x^{n-1}\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\dfrac{1}{x}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) | \(-\dfrac{1}{x^2}\) | \(\mathbb{R}\setminus\{0\}\) |
| \(\sqrt{x}\) | \([0\,;+\infty[\) | \(\dfrac{1}{2\sqrt{x}}\) | \(]0\,;+\infty[\) |
| \(\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(-\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(x)\) | \(\mathbb{R}\) | \(\cos(x)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan(x)\) | \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\) | \(1+\tan^2(x)=\dfrac{1}{\cos^2(x)}\) | \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{\dfrac{\pi}{2}+k\pi,\; k\in\mathbb{Z}\right\}\) |
Exemple
Déterminer les fonctions dérivées de \(f(x)=x^5\) et \(g(x)=\sqrt{x}\), puis comparer leurs domaines de dérivabilité à leurs domaines de définition.
Application
Déterminer \(f'\) et préciser son ensemble de définition :
-
\(f(x) = x^7\)
-
\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)
-
\(f(x) = \tan(x)\)
Opérations sur les fonctions dérivées
Proposition
Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur \(I\) et \(k \in \mathbb{R}\). Alors :
-
\((u+v)' = u'+v'\)
-
\((k\,u)' = k\,u'\)
-
\((u \times v)' = u'v + uv'\)
-
Si \(v\) ne s’annule pas sur \(I\) : \(\left(\dfrac{1}{v}\right)' = -\dfrac{v'}{v^2}\) et \(\left(\dfrac{u}{v}\right)' = \dfrac{u'v - uv'}{v^2}\)
Proposition
-
Toute fonction polynôme est dérivable en tout point de \(\mathbb{R}\).
-
Toute fonction rationnelle est dérivable en tout point de son ensemble de définition.
Exemple
Déterminer la dérivée de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^2\sin(x)\).
Application
Déterminer la dérivée de \(f\) :
-
\(f(x) = (2x-3)(x^2-5x)\)
-
\(f(x) = \dfrac{x+1}{x-1}\)
-
\(f(x) = x^3\cos(x)\)
Dérivée de fonctions composées
Proposition
Soit \(u\) une fonction dérivable sur un intervalle \(J\).
-
Pour \(n \in \mathbb{N}^*\) : \(u^n\) est dérivable sur \(J\) et \(\left(u^n\right)' = n\,u'\,u^{n-1}\).
-
Si \(u > 0\) sur \(J\) : \(\sqrt{u}\) est dérivable sur \(J\) et \(\left(\sqrt{u}\right)' = \dfrac{u'}{2\sqrt{u}}\).
-
Soient \(a, b \in \mathbb{R}\). La fonction \(x \mapsto u(ax+b)\) est dérivable sur tout intervalle \(I\) tel que \(ax+b \in J\) pour tout \(x \in I\), et \(\left(u(ax+b)\right)' = a\,u'(ax+b)\).
Remarque
Soient \(a \in \mathbb{R}^*\) et \(b \in \mathbb{R}\).
| La fonction \(f\) | \(D_f\) | La fonction \(f'\) | \(D_{f'}\) |
|---|---|---|---|
| \(\cos(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) | \(-a\sin(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\sin(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) | \(a\cos(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\) |
| \(\tan(ax+b)\) | \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{\dfrac{\frac{\pi}{2}+k\pi-b}{a},k\in\mathbb{Z}\right\}\) | \(a\!\left(1+\tan^2(ax+b)\right)\) | \(\mathbb{R}\setminus\!\left\{\dfrac{\frac{\pi}{2}+k\pi-b}{a},k\in\mathbb{Z}\right\}\) |
Exemple
Déterminer le domaine de dérivabilité et la dérivée de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=\sqrt{x^2+1}\).
Application
Déterminer la dérivée de \(f\) :
-
\(f(x) = \sqrt{x^2+2}\)
-
\(f(x) = \left(x^2-3x+1\right)^4\)
-
\(f(x) = \cos(2x-3)\)
Dérivées successives
Définition
Soit \(f\) deux fois dérivable sur \(I\). On note \(f'' = (f')' = f^{(2)}\) la dérivée seconde de \(f\). Par itération, on définit la dérivée d’ordre \(n\) par :
\[f^{(n)} = \left(f^{(n-1)}\right)'\]
Exemple
Déterminer les dérivées d’ordre \(1\), \(2\) et \(3\) de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^3-2x\).
Application
Déterminer les dérivées d’ordre 1, 2 et 3 :
-
\(f(x) = x^3+4x^2-6\)
-
\(f(x) = \cos(x)+\sin(x)\)
Applications de la dérivation
Sens de variation d’une fonction
Proposition
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle \(I\) :
-
\(f\) est croissante sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(f' \geq 0\) sur \(I\).
-
\(f\) est décroissante sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(f' \leq 0\) sur \(I\).
-
\(f\) est constante sur \(I\) \(\Longleftrightarrow\) \(f' = 0\) sur \(I\).
-
Si \(f' > 0\) sur \(I\), sauf éventuellement en un nombre fini de points, alors \(f\) est strictement croissante sur \(I\). De même, si \(f' < 0\) dans les mêmes conditions, \(f\) est strictement décroissante sur \(I\).
Exemple
Étudier les variations sur \(\mathbb{R}\) de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=x^2-2x\).
Application
Soit \(f(x) = (x-1)^3\).
-
Calculer \(f'(x)\).
-
Étudier le signe de \(f'(x)\) et en déduire les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
Extremums d’une fonction
Proposition
Soit \(f\) dérivable sur un intervalle ouvert \(I\) et \(\alpha \in I\).
-
Si \(f\) admet un extremum en \(\alpha\), alors \(f'(\alpha) = 0\).
-
Si \(f'(\alpha) = 0\) et \(f'\) change de signe en \(\alpha\) :
-
\(f'\) passe de \(-\) à \(+\) : minimum local en \(\alpha\).
-
\(f'\) passe de \(+\) à \(-\) : maximum local en \(\alpha\).
-
Remarque
La seule égalité \(f'(\alpha)=0\) ne suffit pas pour conclure à l’existence ou à l’absence d’un extremum. Il faut étudier le signe de \(f'\) de part et d’autre de \(\alpha\), ou directement les variations de \(f\).
Exemple
Étudier les variations de la fonction \(f\) définie par \(f(x)=-x^2+4x\), puis déterminer son éventuel extremum.
Application
Soit \(f(x) = 3x-x^3\).
-
Dresser le tableau de variations complet de \(f\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Déterminer les éventuels extremums de \(f\) et préciser leur nature.
Équation différentielle \(y'' + \omega^2 y = 0\)
Définition
Soit \(\omega \in \mathbb{R}^*\). L’équation \(y'' + \omega^2 y = 0\), où \(y\) est une fonction inconnue de \(x\), est une équation différentielle linéaire du second ordre à coefficients constants.
Toute fonction \(f\) vérifiant \(f''(x) + \omega^2 f(x) = 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\) est appelée solution de cette équation.
Proposition
L’ensemble des solutions de \(y'' + \omega^2 y = 0\) est l’ensemble des fonctions :
\[x \mapsto A\cos(\omega x) + B\sin(\omega x) \qquad (A,\, B \in \mathbb{R})\]
Remarque
On peut aussi écrire la solution générale sous la forme \(x \mapsto r\cos(\omega x+\varphi)\) ou \(x \mapsto r\sin(\omega x+\varphi)\), avec \(r, \varphi \in \mathbb{R}\).
Exemple
Résoudre l’équation différentielle \(y''+4y=0\).
Application
Résoudre les équations différentielles :
-
\(y''+9y = 0\)
-
\(\dfrac{d^2u(t)}{dt^2} + 2\,u(t) = 0\)
À retenir
Remarque
Le nombre dérivé donne le coefficient directeur de la tangente. Les règles de dérivation permettent d’étudier les variations et les extremums ; l’équation différentielle \(y''+\omega^2y=0\) a pour solutions des combinaisons de sinus et de cosinus.
S’entraîner avec la série d’exercices de ce chapitre.