Étude des fonctions
Table des matières
Dans tout le chapitre, le plan est muni d’un repère orthonormé \((O;\vec{i};\vec{j})\).
Branches infinies
Soit \(f\) une fonction numérique et \((C_f)\) sa courbe représentative. L’étude des branches infinies de \((C_f)\) consiste à déterminer le comportement de \((C_f)\) au voisinage des bornes infinies du domaine et au voisinage des valeurs où \(f\) admet une limite infinie. Le schéma ci-dessous récapitule tous les cas possibles.
Remarque
Schéma récapitulatif des branches infinies.
Exemple
On considère les fonctions \(f\), \(g\), \(h\), \(k\) et \(m\) définies respectivement par :
\[\begin{aligned} f(x)&=\dfrac{3x^{2}+x-2}{x^{2}-4},\\[3pt] g(x)&=\dfrac{x^{2}}{2x+3},\\[3pt] h(x)&=3x^{2}-2x+1,\\[3pt] k(x)&=\sqrt{3x-2},\\[3pt] m(x)&=2x+\sqrt{x}. \end{aligned}\]
1. Pour la fonction \(f\) :
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Calculer \(\lim\limits_{\substack{x\to 2\\ x>2}} f(x)\). Que peut-on en déduire concernant \((C_f)\) ?
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Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} f(x)\) et \(\lim\limits_{x\to -\infty} f(x)\). Que peut-on en déduire ?
2. Pour la fonction \(g\) :
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Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} g(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty} \dfrac{g(x)}{x}\).
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Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty}\left[g(x)-\dfrac{1}{2}x\right]\).
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En déduire la nature de la branche infinie de \((C_g)\) au voisinage de \(+\infty\).
3. Pour la fonction \(h\) :
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Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} h(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{h(x)}{x}\).
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Que peut-on en déduire concernant la branche infinie de \((C_h)\) au voisinage de \(+\infty\) ?
4. Pour la fonction \(k\) :
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Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} k(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{k(x)}{x}\).
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En déduire la nature de la branche infinie de \((C_k)\) au voisinage de \(+\infty\).
5. Pour la fonction \(m\) :
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Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty} m(x)\) et \(\lim\limits_{x\to +\infty}\dfrac{m(x)}{x}\).
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Calculer \(\lim\limits_{x\to +\infty}[m(x)-2x]\).
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Que peut-on en déduire ?
Application
1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{2\}\) par son tableau de variations suivant :
| \(x\) | \(-\infty\) | \(-1\) | \(2\) | \(+\infty\) | |||
|---|---|---|---|---|---|---|---|
| \(f(x)\) | \(1\) | ↗ | \(3\) | ↘ | \(-\infty\)\(+\infty\) | ↘ | \(1\) |
Déterminer, à partir du tableau, toutes les asymptotes de la courbe \((C_f)\).
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{3\}\) par \(f(x)=\dfrac{2x^{2}-7x+8}{x-3}\).
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Déterminer les réels \(a\), \(b\) et \(c\) tels que pour tout \(x\neq 3\) : \(f(x)=ax+b+\dfrac{c}{x-3}\).
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En déduire que la droite \((D):y=2x-1\) est une asymptote oblique à \((C_f)\) au voisinage de \(\pm\infty\).
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Étudier la position relative de \((C_f)\) et de \((D)\).
3. Soit \(f\) la fonction définie sur \([-1;+\infty[\) par \(f(x)=\sqrt{x+1}-2x\) et \(g\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(g(x)=\dfrac{x^{3}+1}{x^{2}+1}\). Étudier les branches infinies de \((C_f)\) et \((C_g)\) au voisinage de \(+\infty\).
Convexité et concavité
Définition
Soit \(f\) une fonction dérivable sur un intervalle \(I\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
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On dit que \((C_f)\) est convexe sur \(I\) si \((C_f)\) est située au-dessus de chacune de ses tangentes.
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On dit que \((C_f)\) est concave sur \(I\) si \((C_f)\) est située au-dessous de chacune de ses tangentes.
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Le point \(A(a;f(a))\) est un point d’inflexion de \((C_f)\) si la courbe traverse sa tangente en ce point.
La courbe de la fonction \(\cos\) ci-dessus est concave sur \(\left[-\dfrac{\pi}{2};\dfrac{\pi}{2}\right]\) et convexe sur \(\left[\dfrac{\pi}{2};\dfrac{3\pi}{2}\right]\), et \(A\left(\dfrac{\pi}{2};0\right)\) est un point d’inflexion de \((C_{\cos})\).
Proposition
Soient \(f\) une fonction deux fois dérivable sur un intervalle \(I\), \((C_f)\) sa courbe représentative et \(a\in I\).
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Si \(f''\geq 0\) sur \(I\), alors \((C_f)\) est convexe sur \(I\).
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Si \(f''\leq 0\) sur \(I\), alors \((C_f)\) est concave sur \(I\).
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Si \(f''\) s’annule en \(a\) en changeant de signe, alors \(A(a;f(a))\) est un point d’inflexion de \((C_f)\).
Exemple
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies sur \(\mathbb{R}\) par :
\[\begin{aligned} f(x)&=x^{3}-2x^{2}+x-1,\\[3pt] g(x)&=\dfrac{1}{12}x^{4}-2x^{2}+3x+5. \end{aligned}\]
1. Étude de \(f\) :
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Calculer \(f'(x)\) puis \(f''(x)\).
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Étudier le signe de \(f''(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
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En déduire les intervalles sur lesquels \((C_f)\) est convexe et ceux sur lesquels elle est concave.
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Déterminer le point d’inflexion de \((C_f)\).
2. Étude de \(g\) :
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Calculer \(g'(x)\) puis \(g''(x)\).
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Factoriser \(g''(x)\) et dresser son tableau de signe sur \(\mathbb{R}\).
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En déduire les intervalles de convexité et de concavité de \((C_g)\).
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Préciser les coordonnées des points d’inflexion de \((C_g)\).
Application
1. La figure ci-dessous représente la courbe \((C_f)\) d’une fonction \(f\) deux fois dérivable sur \([-4;4]\).
Par lecture graphique, déterminer les intervalles sur lesquels \((C_f)\) est convexe, ceux sur lesquels elle est concave, et les abscisses des points d’inflexion.
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{1\}\) par \(f(x)=x+\dfrac{1}{x-1}\).
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Montrer que \(f''(x)=\dfrac{2}{(x-1)^{3}}\) pour tout \(x\neq 1\).
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Étudier la concavité de \((C_f)\) sur \(]-\infty;1[\) puis sur \(]1;+\infty[\).
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\((C_f)\) admet-elle un point d’inflexion ? Justifier.
3. Soit \(f(x)=\dfrac{x^{4}}{4}-x^{3}-x+2\) définie sur \(\mathbb{R}\).
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Calculer \(f''(x)\) et dresser son tableau de signe.
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Déterminer les points d’inflexion éventuels de \((C_f)\) et préciser leurs coordonnées.
Éléments de symétrie
Proposition
Soit \(f\) une fonction définie sur un ensemble \(D\) et \((C_f)\) sa courbe représentative dans un repère orthonormé.
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La droite \((\Delta)\) d’équation \(x=a\) (avec \(a\in\mathbb{R}\)) est un axe de symétrie de \((C_f)\) si et seulement si, pour tout \(x\in D\) :
\[\left\{\begin{array}{l}(2a-x)\in D, \\[4pt] f(2a-x)=f(x). \end{array}\right.\] -
Le point \(\Omega(a;b)\) (avec \((a;b)\in\mathbb{R}^{2}\)) est un centre de symétrie de \((C_f)\) si et seulement si, pour tout \(x\in D\) :
\[\left\{\begin{array}{l}(2a-x)\in D, \\[4pt] f(2a-x)+f(x)=2b. \end{array}\right.\]
Exemple
On considère les fonctions \(f\) et \(g\) définies respectivement par :
\[\begin{aligned} f(x)&=x^{2}+x+1,\\[3pt] g(x)&=\dfrac{x}{x-1}. \end{aligned}\]
1. Soit \((\Delta)\) la droite d’équation \(x=-\dfrac{1}{2}\).
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Déterminer le domaine \(D_f\) de \(f\).
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Vérifier que pour tout \(x\in D_f\) : \(2\left(-\dfrac{1}{2}\right)-x\in D_f\).
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Calculer \(f(-1-x)\) et comparer avec \(f(x)\).
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En déduire que \((\Delta)\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).
2. Soit \(\Omega\) le point de coordonnées \((1;1)\).
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Déterminer le domaine \(D_g\) de \(g\).
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Vérifier que pour tout \(x\in D_g\) : \(2(1)-x\in D_g\).
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Calculer \(g(2-x)+g(x)\) et comparer avec \(2\cdot 1\).
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En déduire que \(\Omega\) est un centre de symétrie de \((C_g)\).
Application
1. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=x^{2}-6x+5\).
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Écrire \(f(x)\) sous forme canonique.
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Montrer que la droite \((D):x=3\) est un axe de symétrie de \((C_f)\).
2. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\setminus\{-1\}\) par \(f(x)=\dfrac{x^{2}+2x+3}{x+1}\).
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Montrer que pour tout \(x\neq -1\) : \(f(x)=x+1+\dfrac{2}{x+1}\).
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En déduire que \(\Omega(-1;0)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
3. Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x)=2x^{3}+6x^{2}+3x+3\).
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Montrer que \(\Omega(-1;4)\) est un centre de symétrie de \((C_f)\).
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Sachant que l’on connaît l’étude de \(f\) sur \([-1;+\infty[\), expliquer comment en déduire directement le comportement de \(f\) sur \(]-\infty;-1]\).
À retenir
Remarque
L’étude d’une fonction combine domaine, limites, asymptotes, dérivée, variations et convexité. Les éléments de symétrie et les branches infinies facilitent ensuite la construction raisonnée de sa courbe.
S’entraîner avec la série d’exercices de ce chapitre.