Évaluation diagnostique : 2ème Bac PC et SVT BIOF

Durée : 1 heure

Exercice 1

Calculer les limites suivantes :
\[\begin{gathered} \lim_{x\to-\infty}(2x^3+x^4-8),\qquad \lim_{x\to1}(4x^3+5x^2-1),\\ \lim_{x\to+\infty}\frac{x^5+x-2}{x^3-3x^2+3x-1},\qquad \lim_{x\to1}\frac{x^5+x-2}{x^3-3x^2+3x-1},\\ \lim_{x\to2}\frac5{x^2-4},\qquad \lim_{x\to-3}\frac{1-\sqrt{x+4}}{x+3}. \end{gathered}\]

Exercice 2

Calculer et simplifier \(f'(x)\) dans chacun des cas suivants :
\[\begin{gathered} f(x)=\frac13x^3+x^2+5x+3,\qquad f(x)=x+\frac1x,\qquad f(x)=x^2\sqrt x,\\ f(x)=\sqrt{x^2+1},\qquad f(x)=(x^2+8x+4)^3. \end{gathered}\]

Exercice 3

Soit \((u_n)\) la suite numérique définie par
\[u_0=2,\qquad u_{n+1}=\frac{5u_n-1}{u_n+3}\quad\text{pour tout }n\in\mathbb{N}.\]

1. Calculer \(u_1\) et \(u_2\).

2. Montrer par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\), \(u_n>1\).

3. 1. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}\),
      \[u_{n+1}-u_n=-\frac{(u_n-1)^2}{u_n+3}.\]

   2. En déduire la monotonie de la suite \((u_n)\).

   3. En déduire que la suite \((u_n)\) est majorée par \(2\).

4. Pour tout \(n\in\mathbb{N}\), on pose \(v_n=\dfrac1{u_n-1}\).

   1. Calculer \(v_0\) et \(v_1\).

   2. Montrer que \((v_n)\) est une suite arithmétique dont on précisera la raison et le premier terme.

   3. Exprimer \(v_n\), puis \(u_n\), en fonction de \(n\).

   4. Montrer que
      \[v_0+v_1+\cdots+v_n=\frac{(n+8)(n+1)}8.\]