Évaluation diagnostique : 2ème Bac Sciences Maths

Exercice 1

1. Écrire la définition de chacune des limites suivantes :
   \[\begin{gathered} \lim_{x\to x_0}f(x)=\ell,\qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to x_0}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=\ell,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=\ell,\\ \lim_{x\to+\infty}f(x)=+\infty,\qquad \lim_{x\to+\infty}f(x)=-\infty,\\ \lim_{x\to-\infty}f(x)=-\infty,\qquad \lim_{x\to-\infty}f(x)=+\infty. \end{gathered}\]

2. En utilisant la définition d’une limite, montrer que
   \[\lim_{x\to+\infty}\sqrt{x^2-1}=+\infty.\]

3. Soit \(n\in\mathbb{N}\). Calculer, en discutant selon la valeur de \(n\), les limites
   \[\lim_{x\to+\infty}\frac{x^n+2x^3}{x^3+x^2} \qquad\text{et}\qquad \lim_{x\to+\infty} \frac{\sqrt{x+1}-\sqrt{x-1}}{\sqrt{x+4}-\sqrt{x-4}}.\]

4. Résoudre dans \([-\pi;\pi[\) l’inéquation
   \[\cos x+\sin x\leq1.\]

Exercice 2

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x)= \begin{cases} \dfrac{\sqrt{1+x^2}-1}{|x|}, & x\neq0,\\[2mm] 0, & x=0. \end{cases}\]

1. Étudier la dérivabilité de \(f\) en \(0\).

2. Déterminer \(D_{f'}\), puis calculer \(f'(x)\).

Exercice 3

1. Montrer que, pour tout \(n\in\mathbb{N}^*\),
   \[3\times5^{2n-1}+2^{3n-2}\equiv0\pmod{17}.\]

2. Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose \(a=5n^2+7\) et \(b=n^2+2\).

   1. Montrer que, pour tout entier \(d\),
      \[d\mid a\ \text{et}\ d\mid b\quad\Longrightarrow\quad d\mid3.\]

   2. Montrer que
      \[\gcd(a,b)=3\quad\Longrightarrow\quad \exists k\in\mathbb{N}:\ n^2-1=3k.\]

   3. Déterminer l’ensemble
      \[H=\{n\in\mathbb{N}\mid \gcd(a,b)=3\}.\]

Exercice 4

On considère l’application
\[f: ]5;+\infty[\longrightarrow]2;+\infty[,\qquad x\longmapsto\frac{2x-1}{x-5}.\]

1. Déterminer \(f(]5;+\infty[)\).

2. Montrer que \(f\) est bijective, puis déterminer sa réciproque \(f^{-1}\).

Exercice 5

Soit \(a\in\mathbb{R}^*\). On considère la suite \((U_n)\) définie par
\[U_0=a,\qquad U_{n+1}=\frac{nU_n+a}{n+1}.\]
Montrer, par deux méthodes différentes, que la suite \((U_n)\) est constante.