Généralités sur les fonctions
Table des matières
- Fonction numérique et ensemble de définition
- Parité d’une fonction
- Fonctions majorées, minorées, bornées et extremums
- Fonctions périodiques
- Comparaison de deux fonctions
- Image d’un intervalle par une fonction numérique
- Monotonie d’une fonction numérique
- Composée de deux fonctions numériques
- Rappels sur deux fonctions usuelles
- Représentations graphiques de \(x \mapsto a x^3\) et \(x \mapsto \sqrt{x+a}\)
Fonction numérique et ensemble de définition
Définition
Une fonction numérique \(f\) définie sur une partie \(D_f\) de \(\mathbb{R}\) associe à chaque réel \(x\in D_f\) un unique réel, noté \(f(x)\).
-
\(D_f\) est l’ensemble de définition de \(f\) ;
-
\(f(x)\) est l’image de \(x\) par \(f\) ;
-
tout réel \(x\in D_f\) tel que \(f(x)=y\) est un antécédent de \(y\) par \(f\) ;
-
la courbe représentative de \(f\) est l’ensemble des points \(M(x;f(x))\) où \(x\in D_f\).
Pour déterminer \(D_f\), on exclut notamment les valeurs qui annulent un dénominateur et l’on impose que toute expression placée sous une racine carrée soit positive ou nulle.
Exemple
Déterminer l’ensemble de définition de chacune des fonctions suivantes :
-
\(f(x)=\sqrt{2x-3}\) ;
-
\(g(x)=\dfrac{1}{x^2-4}\) ;
-
\(h(x)=\sqrt{\dfrac{x+1}{x-2}}\).
Application
Soit \(f(x)=\dfrac{\sqrt{x+2}}{x-1}\).
-
Déterminer \(D_f\).
-
Calculer \(f(2)\) et rechercher les antécédents de \(0\) par \(f\).
Parité d’une fonction
Définition
Soit \(f\) une fonction numérique définie sur un ensemble \(D \subseteq \mathbb{R}\) tel que \(\forall x \in D,\ -x \in D\).
-
\(f\) est dite paire sur \(D\) si \(\left(\forall x \in D\right):\ f(-x) = f(x)\).
-
\(f\) est dite impaire sur \(D\) si \(\left(\forall x \in D\right):\ f(-x) = -f(x)\).
L’interprétation graphique (axe et centre de symétrie) sera étudiée au chapitre 11.
Exemple
Étudier la parité de chacune des fonctions suivantes :
-
\(f(x) = x^4 - 3x^2 + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
-
\(g(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
-
\(h(x) = \sqrt{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).
-
\(k(x) = x + \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\).
Application
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = x|x| + 2x^3\).
-
Vérifier que \(\mathbb{R}\) est symétrique par rapport à \(0\).
-
Étudier la parité de \(f\).
Fonctions majorées, minorées, bornées et extremums
Proposition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(a \in I\). On a les définitions suivantes.
-
\(f\) est majorée sur \(I\) s’il existe \(M \in \mathbb{R}\) tel que \(\left(\forall x \in I\right): f(x) \le M\).
-
\(f\) est minorée sur \(I\) s’il existe \(m \in \mathbb{R}\) tel que \(\left(\forall x \in I\right): m \le f(x)\).
-
\(f\) est bornée sur \(I\) si elle est à la fois majorée et minorée sur \(I\).
-
\(f(a)\) est le maximum de \(f\) sur \(I\) si \(\left(\forall x \in I\right): f(x) \le f(a)\).
-
\(f(a)\) est le minimum de \(f\) sur \(I\) si \(\left(\forall x \in I\right): f(x) \ge f(a)\).
-
\(f(a)\) est un extremum de \(f\) sur \(I\) s’il en est le maximum ou le minimum.
Interprétation graphique.
Si \(f\) est majorée par \(M\) sur \(I\), \((C_f)\) est au-dessous de la droite \(y = M\) sur \(I\).
Si \(f\) est minorée par \(m\) sur \(I\), \((C_f)\) est au-dessus de la droite \(y = m\) sur \(I\).
Exemple
On considère les fonctions :
-
\(f(x) = 1 - \dfrac{1}{x}\) sur \(\mathbb{R}^*\) ;
-
\(g(x) = x^2 - 4x + 1\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Montrer que \(f\) est majorée par \(1\) sur \(\left]0;+\infty\right[\) et minorée par \(1\) sur \(\left]-\infty;0\right[\).
-
La fonction \(f\) est-elle bornée sur \(\mathbb{R}^*\) ? Justifier.
-
Calculer \(g(2)\) et montrer que \(-3\) est le minimum de \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Que peut-on en déduire pour la position de la courbe \((C_g)\) par rapport à la droite \(y = -3\) ?
Application
On considère les fonctions définies par \(f(x) = 3 - \sqrt{1-2x}\) et \(g(x) = x + \dfrac{4}{x}\).
-
Déterminer \(D_f\) et \(D_g\).
-
Montrer que \(f\) est majorée par \(3\) sur \(D_f\).
-
Montrer que \(g\) est minorée par \(4\) sur \(\left]0;+\infty\right[\) et majorée par \(-4\) sur \(\left]-\infty;0\right[\).
Fonctions périodiques
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur \(D\) et \(T\) un nombre réel strictement positif. On dit que \(f\) est périodique de période \(T\) (ou \(T\)-périodique) sur \(D\) si :
-
\(\forall x \in \mathbb{R},\ x\in D\Longleftrightarrow x+T\in D\) ;
-
\(\forall x \in D,\ f(x + T) = f(x)\).
Périodes des fonctions de référence : \(\sin\) et \(\cos\) sont \(2\pi\)-périodiques ; \(\tan\) est \(\pi\)-périodique.
Exemple
On considère les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :
-
\(f(x) = \cos^2(x)\) ;
-
\(g(x) = \sin(2\pi x)\).
-
Montrer que \(f\) est \(\pi\)-périodique sur \(\mathbb{R}\).
-
Montrer que \(g\) est \(1\)-périodique sur \(\mathbb{R}\).
Application
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \cos\!\left(\dfrac{\pi x}{3}\right) + \sin\!\left(\dfrac{\pi x}{3}\right)\).
-
Déterminer un réel \(T > 0\) tel que \(f(x + T) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
-
En déduire que \(f\) est périodique sur \(\mathbb{R}\).
Comparaison de deux fonctions
Définition
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur le même ensemble \(D\).
-
\(f\) et \(g\) sont égales sur \(D\) si \(\left(\forall x \in D\right): f(x) = g(x)\).
-
\(f\) est supérieure ou égale à \(g\) sur \(D\), noté \(f \geq g\), si \(\left(\forall x \in D\right): f(x) \geq g(x)\).
-
Pour comparer \(f\) et \(g\), on étudie le signe de \(f(x)-g(x)\) sur \(D\).
Interprétation graphique.
Si \(f > g\) sur \(D\), alors \((C_f)\) est strictement au-dessus de \((C_g)\) sur \(D\).
Si \(f \leq g\) sur \(D\), alors \((C_f)\) est au-dessous de \((C_g)\) sur \(D\).
Les abscisses des points d’intersection de \((C_f)\) et \((C_g)\) sont les solutions de \(f(x)=g(x)\). Les intersections de \((C_f)\) avec les axes s’obtiennent par \(f(x)=0\) pour l’axe des abscisses et, lorsque \(0\in D_f\), par le point \((0;f(0))\) pour l’axe des ordonnées.
Exemple
On considère les fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par :
-
\(f(x) = x + 1 + \dfrac{1}{x^2 + 2}\) et \(g(x) = x + 1\) ;
-
\(u(x) = x^2 - 2x + 1\) et \(v(x) = -2x^2 + 4x + 1\).
-
Comparer \(f\) et \(g\) sur \(\mathbb{R}\).
-
Étudier le signe de \(u(x) - v(x)\) sur \(\mathbb{R}\).
-
En déduire la comparaison entre \(u\) et \(v\) sur \(\mathbb{R}\).
Application
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par les courbes ci-dessous.
-
Résoudre graphiquement les équations : \(f(x) = 2\), \(f(x) = 0\), \(f(x) = g(x)\).
-
Résoudre graphiquement les inéquations : \(f(x) < 2\), \(g(x) \geq 0\), \(f(x) > g(x)\).
Image d’un intervalle par une fonction numérique
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\). L’image de l’intervalle \(I\) par \(f\) est l’ensemble :
\[f(I) = \{f(x)\mid x \in I\}.\]
Technique de détermination sur \([a; b]\) :
-
Si \(f\) est croissante sur \([a; b]\) : \(f([a; b]) = [f(a); f(b)]\).
-
Si \(f\) est décroissante sur \([a; b]\) : \(f([a; b]) = [f(b); f(a)]\).
-
Si \(f\) change de monotonie sur \([a; b]\) : \(f([a; b]) = [m; M]\) où \(m\) et \(M\) sont respectivement le minimum et le maximum de \(f\) sur \([a; b]\).
Exemple
La figure ci-dessous représente la courbe d’une fonction \(f\) définie sur \([-2;4]\). Lire sur la figure et déterminer les images suivantes :
-
\(f([-2;-1])\)
-
\(f([-1;1])\)
-
\(f([0;1])\)
-
\(f([1;3])\)
-
\(f([1;4])\)
-
\(f([0;3[)\)
-
\(f(]-1;1[)\)
-
\(f(]-2;4[)\)
Application
Soit \(f\) une fonction dont le tableau de variations est donné ci-dessous. Déterminer chacune des images suivantes :
-
\(f([-4;0])\)
-
\(f([0;1])\)
-
\(f([0;2])\)
-
\(f([-4;1])\)
-
\(f([1;+\infty[)\)
Monotonie d’une fonction numérique
Définition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\).
-
\(f\) est croissante sur \(I\) si, pour tous \(x,y\in I\), \(x<y\Longrightarrow f(x)\leq f(y)\).
-
\(f\) est décroissante sur \(I\) si, pour tous \(x,y\in I\), \(x<y\Longrightarrow f(x)\geq f(y)\).
-
Elle est strictement croissante ou strictement décroissante lorsque les inégalités correspondantes sont strictes.
Pour \(x\ne y\), le taux de variation de \(f\) entre \(x\) et \(y\) est
\[T_f(x,y)=\dfrac{f(x)-f(y)}{x-y}.\]
Ainsi, \(f\) est croissante sur \(I\) si \(T_f(x,y)\geq0\) pour tous \(x\ne y\) de \(I\), et décroissante si \(T_f(x,y)\leq0\).
Proposition
Soit \(f\) une fonction définie sur un intervalle \(I\) et \(\lambda\) un nombre réel.
-
\(f\) et \(f + \lambda\) ont le même sens de variations sur \(I\).
-
Si \(\lambda > 0\), alors \(f\) et \(\lambda f\) ont le même sens de variations sur \(I\).
-
Si \(\lambda < 0\), alors \(f\) et \(\lambda f\) ont des sens de variations contraires sur \(I\).
Exemple
Soit \(f\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\).
-
Étudier la parité de \(f\).
-
Étudier la monotonie de \(f\) sur \([0;+\infty[\), puis sur \(\left]-\infty;0\right]\).
-
En déduire la monotonie des fonctions \(3f\), \(-2f\) et \(f + 3\) sur \([0;+\infty[\).
Application
Soit \(f\) une fonction définie sur \([-3; 3]\) par la courbe ci-dessous. Donner le tableau de variations des fonctions \(f\), \(f + 2\) et \(-3f\).
Composée de deux fonctions numériques
Définition
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions numériques. La fonction composée de \(f\) par \(g\), notée \(g \circ f\), est définie par :
\[(g \circ f)(x) = g(f(x)).\]
Son ensemble de définition est
\[D_{g\circ f}=\{x\in D_f\mid f(x)\in D_g\}.\]
Remarque.
-
En général, \(g \circ f \neq f \circ g\).
Proposition
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies respectivement sur les intervalles \(I\) et \(J\) tels que \(f(I) \subseteq J\).
-
Si \(f\) et \(g\) sont toutes deux croissantes, ou toutes deux décroissantes, alors \(g \circ f\) est croissante sur \(I\).
-
Si l’une est croissante et l’autre décroissante, alors \(g \circ f\) est décroissante sur \(I\).
Exemple
On considère les fonctions :
-
\(f(x) = x^2\) et \(g(x) = \dfrac{2x}{x - 4}\) ;
-
\(h(x) = \dfrac{1 - x^2}{1 + x^2}\).
-
Déterminer \(D_{g \circ f}\) et l’expression de \(g \circ f\).
-
On pose \(u(x) = x^2\) et \(v(x) = \dfrac{1 - x}{1 + x}\). Vérifier que \(h = v \circ u\).
-
Étudier la monotonie de \(u\) sur \(\left]-\infty; 0\right]\) et sur \([0;+\infty[\), puis celle de \(v\) sur \([0;+\infty[\).
-
En déduire la monotonie de \(h\) sur \(\left]-\infty; 0\right]\) et sur \([0;+\infty[\).
Application
Soient \(f\) et \(g\) deux fonctions définies par \(f(x) = \dfrac{1}{x}\) et \(g(x) = \dfrac{2x + 3}{3x - 6}\).
-
Déterminer \(D_f\), \(D_g\) et \(D_{g \circ f}\), puis l’expression de \(g \circ f\).
-
Écrire la fonction \(\varphi\) définie sur \(\mathbb{R}^+\) par \(\varphi(x) = \dfrac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} + 5}\) comme composée de deux fonctions à préciser.
Rappels sur deux fonctions usuelles
Proposition
Fonction polynôme du second degré. Soit \(f(x)=ax^2+bx+c\), où \(a\ne0\). En posant
\[\alpha=-\dfrac{b}{2a}\qquad\text{et}\qquad\beta=f(\alpha),\]
la courbe \((C_f)\) est une parabole de sommet \(S(\alpha;\beta)\) et d’axe de symétrie \(x=\alpha\).
-
Si \(a>0\), \(f\) est décroissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis croissante sur \([\alpha;+\infty[\).
-
Si \(a<0\), \(f\) est croissante sur \(]-\infty;\alpha]\) puis décroissante sur \([\alpha;+\infty[\).
Fonction homographique. Soit \(g(x)=\dfrac{ax+b}{cx+d}\), où \(c\ne0\) et \(ad-bc\ne0\). Alors
\[D_g=\mathbb{R}\setminus\left\{-\dfrac dc\right\},\]
et \((C_g)\) est une hyperbole de centre \(\Omega\left(-\dfrac dc;\dfrac ac\right)\), d’asymptotes \(x=-\dfrac dc\) et \(y=\dfrac ac\).
Sur chacun des intervalles \(\left]-\infty;-\dfrac dc\right[\) et \(\left]-\dfrac dc;+\infty\right[\), la fonction \(g\) est croissante si \(ad-bc>0\) et décroissante si \(ad-bc<0\).
Exemple
Pour chacune des fonctions \(f(x)=2x^2-8x+5\) et \(g(x)=\dfrac{2x+1}{x-3}\), déterminer l’ensemble de définition, les éléments caractéristiques de la courbe et dresser le tableau de variations.
Représentations graphiques de \(x \mapsto a x^3\) et \(x \mapsto \sqrt{x+a}\)
Proposition
Fonction \(x \mapsto a x^3\) (\(a \neq 0\)).
| \(a > 0\) | \(a < 0\) | |
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Fonction \(x \mapsto \sqrt{x + a}\). Son ensemble de définition est \([-a;+\infty[\) et elle est strictement croissante sur cet intervalle.
| Tableau de variations | Courbe | |
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Exemple
On considère les fonctions définies par \(f(x) = \sqrt{x+5}\) et \(g(x) = -2x^3\).
-
Étudier les variations de \(f\) et de \(g\).
-
Construire \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un même repère orthonormé.
-
Résoudre graphiquement, sur \([-5; +\infty[\), l’inéquation \(\sqrt{x+5} + 2x^3 < 0\).
Application
On considère les fonctions définies par \(f(x) = \dfrac{1}{9}x^2 + 1\) et \(g(x) = \sqrt{x+1}\).
-
Déterminer \(D_g\) et vérifier que \(f(0) = g(0)\) et \(f(3) = g(3)\).
-
Représenter \((C_f)\) et \((C_g)\) dans un même repère orthonormé.
-
Résoudre graphiquement sur \([-1; +\infty[\) l’inéquation \(\dfrac{1}{9}x^2 + 1 - \sqrt{x+1} \le 0\).
Exercice n°1
Soit \(h\) la fonction définie sur \(\mathbb{R}\) par \(h(x) = \sqrt{\dfrac{1}{9}x^2 + 2}\). On reprend \(f\) et \(g\) de l’application précédente.
-
Vérifier que \(\left(\forall x \in \mathbb{R}\right):\ h(x) = (g \circ f)(x)\).
-
En déduire les variations de \(h\) sur \(\left]-\infty;0\right]\) et sur \([0;+\infty[\) en utilisant les variations de \(f\) et \(g\).
À retenir
Définition
Pour étudier une fonction, on commence toujours par son ensemble de définition. Selon la question, on examine ensuite sa parité ou sa périodicité, ses bornes et ses extremums, ses variations, ses images d’intervalles et sa position par rapport à une autre courbe. Pour une composée \(g\circ f\), la condition essentielle est \(x\in D_f\) et \(f(x)\in D_g\).