Géométrie dans l’espace
Table des matières
Calcul vectoriel et colinéarité
Définition
Soient \(A, B\) deux points de l’espace.
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Le vecteur \(\overrightarrow{AB}\) est le bipoint \((A, B)\) ; si \(A \neq B\), il est caractérisé par sa direction (droite \((AB)\)), son sens et sa norme \(\|\overrightarrow{AB}\|=AB\). Si \(A=B\), \(\overrightarrow{AB}=\vec{0}\).
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L’ensemble des vecteurs de l’espace est noté \(\mathcal{V}_3\).
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Somme : \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{AC}\) (relation de Chasles).
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Produit par un réel \(\alpha\) : \(\alpha\vec{0}=\vec{0}\) ; pour \(\vec{u}\neq\vec{0}\) et \(\alpha\neq 0\), \(\alpha\vec{u}\) a même direction que \(\vec{u}\), même sens si \(\alpha>0\) (resp. opposé si \(\alpha<0\)), et \(\|\alpha\vec{u}\|=|\alpha|\,\|\vec{u}\|\).
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Colinéarité : \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont colinéaires s’il existe \(\alpha\in\mathbb{R}\) tel que \(\vec{u}=\alpha\vec{v}\) ou \(\vec{v}=\alpha\vec{u}\).
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Alignement : \(A, B, C\) sont alignés si et seulement si \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) sont colinéaires.
Proposition
Pour \(\vec{u}, \vec{v}\in\mathcal{V}_3\) et \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}\) : \(\alpha(\vec{u}+\vec{v})=\alpha\vec{u}+\alpha\vec{v}\) ; \((\alpha+\beta)\vec{u}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{u}\) ; \(\alpha(\beta\vec{u})=(\alpha\beta)\vec{u}\).
Exemple
On considère le parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\).
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Montrer que \(\overrightarrow{BC}+\overrightarrow{BE}=\overrightarrow{BH}\), \(\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AH}=\overrightarrow{AG}\) et \(\overrightarrow{DC}+\overrightarrow{CG}=\overrightarrow{AF}\).
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Soit \(OABC\) un tétraèdre, et \(I, E, F\) tels que \(2\overrightarrow{OI}=\overrightarrow{OA}\), \(3\overrightarrow{OE}=\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\), \(\overrightarrow{BF}=\overrightarrow{AC}\). Montrer que \(\overrightarrow{IF}=-\dfrac{3}{2}\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\) et en déduire que \(I, E, F\) sont alignés.
Application
On considère le cube \(ABCDEFGH\). Soient \(I, J\) les milieux respectifs de \([BG]\) et \([HG]\), et \(K\) tel que \(\overrightarrow{BK}=\dfrac{1}{4}\overrightarrow{BA}\). Montrer que les droites \((AJ)\) et \((IK)\) sont parallèles.
Vecteurs coplanaires et bases
Définition
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Trois vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) non nuls sont coplanaires si les points \(A, B, C, D\) tels que \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}\), \(\vec{v}=\overrightarrow{AC}\), \(\vec{w}=\overrightarrow{AD}\) appartiennent à un même plan.
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Si \(\vec{u}, \vec{v}\) ne sont pas colinéaires, alors \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement s’il existe \(\alpha, \beta\in\mathbb{R}\) tels que \(\vec{w}=\alpha\vec{u}+\beta\vec{v}\).
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Trois vecteurs \(\vec{i}, \vec{j}, \vec{k}\) non coplanaires constituent une base de \(\mathcal{V}_3\). Pour tout \(\vec{u}\in\mathcal{V}_3\), il existe \((x, y, z)\in\mathbb{R}^3\) unique tel que \(\vec{u}=x\vec{i}+y\vec{j}+z\vec{k}\) ; on note \(\vec{u}(x; y; z)\).
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Quatre points \(A, B, C, D\) non coplanaires définissent un repère cartésien \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\). Tout point \(M\) admet des coordonnées uniques \((x_M, y_M, z_M)\).
Proposition
Soient \(\vec{u}(x; y; z)\), \(\vec{v}(x'; y'; z')\) deux vecteurs et \(A(x_A; y_A; z_A)\), \(B(x_B; y_B; z_B)\) deux points dans un repère \((O, \vec{i}, \vec{j}, \vec{k})\).
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Coordonnées de \(\vec{u}+\vec{v}\) : \((x+x'; y+y'; z+z')\) ; de \(\alpha\vec{u}\) : \((\alpha x; \alpha y; \alpha z)\).
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Coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\) : \((x_B-x_A; y_B-y_A; z_B-z_A)\).
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Coordonnées du milieu \(I\) de \([AB]\) : \(\left(\dfrac{x_A+x_B}{2}; \dfrac{y_A+y_B}{2}; \dfrac{z_A+z_B}{2}\right)\).
Exemple
On considère le tétraèdre \(ABCD\). Soient \(I\) le milieu de \([BD]\) et \(J\) le centre de gravité de \(ACD\).
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Déterminer dans le repère \((A, \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\) les coordonnées des points \(C\), \(I\) et \(J\).
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Soit \(E\) le point tel que \(\overrightarrow{AE}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}+2\overrightarrow{AD}\). Montrer que les vecteurs \(\overrightarrow{AI}\), \(\overrightarrow{AJ}\) et \(\overrightarrow{AE}\) sont coplanaires.
Application
On considère le parallélépipède rectangle \(ABCDEFGH\).
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Vérifier que \((\overrightarrow{EA}, \overrightarrow{EF}, \overrightarrow{EH})\) forme une base de \(\mathcal{V}_3\).
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Déterminer dans cette base les coordonnées de \(\overrightarrow{AB}\), \(-3\overrightarrow{FG}\) et \(\overrightarrow{AG}+\overrightarrow{EC}\).
Déterminant et coplanarité
Définition
Soient \(\vec{u}(x_1; y_1; z_1)\), \(\vec{v}(x_2; y_2; z_2)\), \(\vec{w}(x_3; y_3; z_3)\) trois vecteurs dans une base de \(\mathcal{V}_3\). Le déterminant est :
\[\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=\begin{vmatrix}x_1 & x_2 & x_3 \\ y_1 & y_2 & y_3 \\ z_1 & z_2 & z_3\end{vmatrix}=x_1\begin{vmatrix}y_2 & y_3 \\ z_2 & z_3\end{vmatrix}-y_1\begin{vmatrix}x_2 & x_3 \\ z_2 & z_3\end{vmatrix}+z_1\begin{vmatrix}x_2 & x_3 \\ y_2 & y_3\end{vmatrix}.\]
Critère : \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont coplanaires si et seulement si \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=0\).
Exemple
Soient \(\vec{u_1}(-1; -2; 0)\), \(\vec{u_2}(3; 5; -1)\), \(\vec{u_3}(-5; -5; 5)\) et \(\vec{u_4}(0; -1; 2)\).
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Calculer \(\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_3})\) et \(\det(\vec{u_1}, \vec{u_2}, \vec{u_4})\).
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En déduire si chacun des triplets est coplanaire ou non.
Application
Soit \(ABCD\) un tétraèdre et \(\vec{u}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{AC}\), \(\vec{v}=\overrightarrow{AB}-\overrightarrow{AD}\), \(\vec{w}=\overrightarrow{AC}+\overrightarrow{AD}\).
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Calculer les coordonnées de \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) dans la base \((\overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AC}, \overrightarrow{AD})\).
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Les vecteurs \(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w}\) sont-ils coplanaires ?
Droites et plans dans l’espace
Définition
Soit \(A(x_A; y_A; z_A)\), \(\vec{u}(\alpha; \beta; \gamma)\) et \(\vec{v}(\alpha'; \beta'; \gamma')\) avec \(\vec{u}, \vec{v}\) non colinéaires.
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Droite \(D(A, \vec{u})\), représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=x_A+\alpha t \\ y=y_A+\beta t \\ z=z_A+\gamma t\end{cases}\) (\(t \in \mathbb{R}\)).
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Droite \(D(A, \vec{u})\), équations cartésiennes : si \(\alpha\beta\gamma\neq 0\), \(\dfrac{x-x_A}{\alpha}=\dfrac{y-y_A}{\beta}=\dfrac{z-z_A}{\gamma}\). Cas dégénérés : on adapte selon les composantes nulles.
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Plan \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\), équation cartésienne : \(M\in(P) \Leftrightarrow \det(\overrightarrow{AM}, \vec{u}, \vec{v})=0\), ce qui s’écrit \(ax+by+cz+d=0\).
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Plan \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\), représentation paramétrique : \(\begin{cases}x=x_A+\alpha t_1+\alpha' t_2 \\ y=y_A+\beta t_1+\beta' t_2 \\ z=z_A+\gamma t_1+\gamma' t_2\end{cases}\) (\(t_1, t_2 \in \mathbb{R}\)).
Exemple
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Déterminer une représentation paramétrique de la droite passant par \(A(2; 0; 1)\) et \(B(2; 3; 2)\).
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Déterminer un système d’équations cartésiennes de la droite passant par \(A(1; 5; -2)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(-2; 3; 1)\).
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Déterminer une équation cartésienne du plan \((P)\) passant par \(A(1; 2; 3)\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}(2; 0; -1)\) et \(\vec{v}(0; 1; 2)\).
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Déterminer une représentation paramétrique du plan \((Q): 2x-y+4z-1=0\).
Application
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Déterminer un système d’équations cartésiennes de la droite passant par \(A(3; -2; 0)\) de vecteur directeur \(\vec{u}(2; 0; -1)\).
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Déterminer une représentation paramétrique du plan passant par \(A(5; 5; 5)\) et de vecteurs directeurs \(\vec{u}(0; 0; -1)\) et \(\vec{v}(2; 1; 2)\).
Positions relatives
Proposition
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Deux droites \(D(A, \vec{u})\) et \(\Delta(B, \vec{v})\) : parallèles ssi \(\vec{u}, \vec{v}\) colinéaires ; coplanaires ssi \(\overrightarrow{AB}, \vec{u}, \vec{v}\) coplanaires.
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Deux plans \(P(A, \vec{u}, \vec{v})\) et \(Q(B, \vec{u'}, \vec{v'})\) : parallèles ssi \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{u'})=0\) et \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{v'})=0\).
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Une droite et un plan \(D(A, \vec{u})\), \(P(B, \vec{v}, \vec{w})\) : la droite est parallèle au plan ssi \(\det(\vec{u}, \vec{v}, \vec{w})=0\).
Lorsque les objets sont donnés par des équations cartésiennes :
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Les plans \((P) : ax+by+cz+d=0\) et \((P') : a'x+b'y+c'z+d'=0\) sont parallèles si et seulement si les triplets \((a; b; c)\) et \((a'; b'; c')\) sont proportionnels. Ils sont confondus si les deux équations entières sont proportionnelles, et strictement parallèles sinon. S’ils ne sont pas parallèles, ils sont sécants suivant une droite.
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Pour une droite donnée par une représentation paramétrique et un plan donné par une équation cartésienne, on remplace \(x\), \(y\), \(z\) dans l’équation du plan. Si l’équation obtenue en \(t\) n’a aucune solution, la droite est strictement parallèle au plan ; si elle est vérifiée pour tout \(t\), la droite est incluse dans le plan ; sinon, l’unique valeur de \(t\) donne le point d’intersection.
Exemple
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Soient \(M(1; -3; 2)\), \(N(0; -1; 1)\) et \((\Delta) : \begin{cases}x=1+t \\ y=2t \\ z=-1-t\end{cases}\) (\(t \in \mathbb{R}\)). Étudier la position relative de \((MN)\) et \((\Delta)\).
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Étudier la position relative des plans \((P): -2x+2y-4z-1=0\) et \((Q): x-y+2z=0\).
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Étudier la position relative du plan \((P): 3x-2y+z+5=0\) et de la droite \((D) : \begin{cases}x=2 \\ y=-1+t \\ z=-1+2t\end{cases}\).
Application
On considère les deux plans \((P) : x-y+2z+1=0\) et \((Q) : x-4y+3z=0\).
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Prouver que \((P)\) et \((Q)\) sont sécants.
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Déterminer une représentation paramétrique de leur droite d’intersection.
À retenir
Remarque
Dans un repère de l’espace, les coordonnées et les vecteurs permettent d’étudier points, droites et plans. Leurs représentations paramétriques ou cartésiennes servent à déterminer parallélisme, intersection et position relative.
S’entraîner avec la série d’exercices de ce chapitre.