Produit scalaire dans le plan
Table des matières
Le produit scalaire dans le plan
Définition
Soient \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) deux vecteurs du plan.
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Le produit scalaire de \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) est le réel : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = \|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\| \times \cos(\vec{u},\vec{v})\).
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Le carré scalaire de \(\vec{u}\) est \(\vec{u}\cdot\vec{u} = \|\vec{u}\|^2\).
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Lorsque \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls : \(\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow \vec{u}\cdot\vec{v} = 0\).
Exemple
Soit \(ABC\) un triangle rectangle isocèle en \(B\) tel que \(AB = 2\), \(AC = \sqrt{8}\) et \((\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) \equiv \dfrac{\pi}{4}\,[2\pi]\).
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Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\) et \(\overrightarrow{CA}\cdot\overrightarrow{CB}\).
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Que peut-on en déduire pour \(\overrightarrow{BA}\) et \(\overrightarrow{BC}\) ?
Application
Soient \(A\), \(B\) et \(C\) trois points du plan tels que \(AB = 3\), \(AC = 4\) et \((\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}) \equiv \dfrac{2\pi}{3}\,[2\pi]\).
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Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\).
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En déduire la longueur \(BC\) en utilisant l’identité \(BC^2 = \|\overrightarrow{AC} - \overrightarrow{AB}\|^2\).
Expression analytique du produit scalaire
Dans toute la suite, le plan est rapporté à un repère orthonormé direct \((O; \vec{i}; \vec{j})\).
Définition
Une base \((\vec{i}, \vec{j})\) est dite orthonormée si \(\vec{i}\cdot\vec{j} = 0\) et \(\|\vec{i}\| = \|\vec{j}\| = 1\). Le repère \((O; \vec{i}; \vec{j})\) est dit orthonormé direct si la base est orthonormée et \((\vec{i}, \vec{j}) \equiv \dfrac{\pi}{2}\,[2\pi]\).
Proposition
Soient \(\vec{u}(x;y)\), \(\vec{v}(x';y')\) deux vecteurs du plan, \(A(x_A;y_A)\) et \(B(x_B;y_B)\) deux points.
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Produit scalaire : \(\vec{u}\cdot\vec{v} = xx' + yy'\).
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Orthogonalité : \(\vec{u}\perp\vec{v} \Leftrightarrow xx' + yy' = 0\).
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Norme : \(\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2}\).
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Distance : \(AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2}\).
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Cosinus et sinus de l’angle orienté : si \(\vec{u}\) et \(\vec{v}\) sont non nuls et \(\theta = (\widehat{\vec{u};\vec{v}})\),
\[\cos\theta = \dfrac{xx' + yy'}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|} \quad\text{et}\quad \sin\theta = \dfrac{xy' - x'y}{\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|}.\] -
Aire d’un triangle : l’aire du triangle \(ABC\) est \(S = \dfrac{|\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})|}{2}\) avec \(\det(\vec{u},\vec{v}) = xy' - x'y\).
Exemple
On considère les points \(A(-3;1)\), \(B(1;1)\) et \(C(-5;-1)\) et les vecteurs \(\vec{u}(-\sqrt{3};-3)\) et \(\vec{v}(-1;\sqrt{3})\).
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Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) et \(\|\vec{u}\| \times \|\vec{v}\|\). En déduire \(\cos\theta\) et \(\sin\theta\) où \(\theta = (\widehat{\vec{u};\vec{v}})\), puis la valeur de \(\theta\).
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Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\) et \(\det(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC})\).
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En déduire l’aire du triangle \(ABC\) et la mesure principale de l’angle \((\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\).
Application
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Calculer \(\vec{u}\cdot\vec{v}\) avec \(\vec{u}(2;-3)\) et \(\vec{v}(-1;2)\).
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Soient \(\vec{u}=(\sqrt{3}-1)\vec{i}-\vec{j}\) et \(\vec{v}=(\sqrt{3}+1)\vec{i}+2\vec{j}\). Montrer que \(\vec{u}\perp\vec{v}\).
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Déterminer \(m \in \mathbb{R}\) pour que \(\vec{u}(3;-1+m)\) et \(\vec{v}(2-m;5)\) soient orthogonaux.
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Soient \(A(-3;1)\), \(B(1;1)\) et \(C(-3;5)\). Calculer \(AB\), \(AC\), \(BC\) et déterminer la nature du triangle \(ABC\).
Droite dans le plan
Définition
Soit \((D) = D(A;\vec{u})\) une droite passant par \(A\) et de vecteur directeur \(\vec{u}\). Tout vecteur non nul orthogonal à \(\vec{u}\) est appelé vecteur normal à \((D)\).
Proposition
Soient \((D)\) d’équation \(ax + by + c = 0\), \(A(x_A;y_A)\) un point et \(\vec{n}(a;b)\) un vecteur normal.
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Vecteurs caractéristiques : \(\vec{n}(a;b)\) est normal à \((D)\) ; \(\vec{u}(-b;a)\) est directeur.
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Équation par point + normal : \(a(x - x_A) + b(y - y_A) = 0\).
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Positions relatives : pour deux droites \((D)\) et \((D')\) de vecteurs normaux \(\vec{n}, \vec{n}'\) :
\[(D)\perp(D') \Leftrightarrow \vec{n}\cdot\vec{n}' = 0, \qquad (D)\parallel(D') \Leftrightarrow \det(\vec{n},\vec{n}') = 0.\] -
Distance d’un point à une droite : \(d(A;(D)) = \dfrac{|ax_A + by_A + c|}{\sqrt{a^2 + b^2}}\).
Exemple
On considère \((D): 4x + 3y + 1 = 0\) et \((D'): x - 2y + 8 = 0\).
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Donner un vecteur normal et un vecteur directeur à \((D)\), puis à \((D')\).
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Déterminer une équation cartésienne de la droite \(\Delta\) passant par \(A(1;2)\) et de vecteur normal \(\vec{n}(5;3)\).
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Étudier la position relative de \((D)\) et \((D')\).
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Calculer \(d(A;(D))\) avec \(A(2;1)\), et \(d(B;(D))\) avec \(B(-1;1)\). Que constate-t-on pour \(B\) ?
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Soit \(E(-3;5)\) et \(H\) son projeté orthogonal sur \((D')\). Calculer \(d(E;(D'))\) et déterminer les coordonnées de \(H\).
Application
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Déterminer une équation cartésienne de la droite passant par \(A(2;3)\) de vecteur normal \(\vec{n}(2;-1)\).
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Déterminer une équation cartésienne de la médiatrice du segment \([AB]\) avec \(A(3;-1)\) et \(B(-1;5)\).
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Étudier la position relative de \((D_1):2x + y - 1 = 0\) et \((D_2): -x + 2y + 3 = 0\).
Étude analytique d’un cercle
Définition
Le cercle \((\mathcal{C})\) de centre \(\Omega(a;b)\) et de rayon \(R > 0\) est l’ensemble des points \(M\) du plan tels que \(\Omega M = R\).
Une tangente à \((\mathcal{C})\) au point \(A \in (\mathcal{C})\) est une droite passant par \(A\) et perpendiculaire à \((\Omega A)\).
Proposition
Soient \((\mathcal{C})\) un cercle d’équation développée \(x^2 + y^2 + \alpha x + \beta y + \gamma = 0\) (avec \(\alpha^2 + \beta^2 - 4\gamma > 0\)), de centre \(\Omega\!\left(-\dfrac{\alpha}{2};-\dfrac{\beta}{2}\right)\) et de rayon \(R = \dfrac{\sqrt{\alpha^2+\beta^2-4\gamma}}{2}\), et \(M(x_0;y_0)\) un point.
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Équation par centre et rayon : si \(\Omega(a;b)\), alors \((x-a)^2 + (y-b)^2 = R^2\), soit \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + (a^2+b^2-R^2) = 0\).
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Équation par diamètre \([AB]\) : \((x - x_A)(x - x_B) + (y - y_A)(y - y_B) = 0\), c’est-à-dire \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{BM} = 0\).
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Représentation paramétrique : \(\begin{cases} x = a + R\cos\theta \\ y = b + R\sin\theta \end{cases}\) avec \(\theta \in \mathbb{R}\).
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Position d’un point : \(M \in (\mathcal{C}) \Leftrightarrow x_0^2 + y_0^2 + \alpha x_0 + \beta y_0 + \gamma = 0\) ; \(M\) est intérieur ssi \(< 0\) ; extérieur ssi \(> 0\).
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Position d’une droite \((D)\) par rapport à \((\mathcal{C})\) : comparer \(d(\Omega;(D))\) à \(R\) (extérieure si \(>\), tangente si \(=\), sécante si \(<\)).
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Tangente en \(A \in (\mathcal{C})\) : \((D)\) tangente \(\Leftrightarrow\) \(\overrightarrow{AM}\cdot\overrightarrow{A\Omega} = 0\) pour tout \(M \in (D)\).
Exemple
On considère le cercle \((\mathcal{C}): x^2 + y^2 - 2x - 4y = 0\) et le cercle \((\mathcal{C}'): x^2 + y^2 + 4x - 6y + 9 = 0\).
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Déterminer le centre et le rayon de \((\mathcal{C})\) et de \((\mathcal{C}')\).
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Vérifier que \(A(2;4) \in (\mathcal{C})\) et déterminer une équation de la tangente à \((\mathcal{C})\) en \(A\).
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Donner une représentation paramétrique de \((\mathcal{C}')\).
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Étudier la position relative de \((\mathcal{C})\) et de la droite \((D): x + y + 2 = 0\). En cas de sécante, donner les coordonnées des points d’intersection.
Application
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Déterminer une équation du cercle de centre \(\Omega(-2;3)\) et de rayon \(4\).
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Déterminer une équation du cercle de centre \(A(2;3)\) passant par \(B(1;-3)\).
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Pour chaque équation, indiquer si elle représente un cercle (et préciser centre et rayon), un point, ou l’ensemble vide :
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\(x^2 + y^2 - 4x - 2y + 1 = 0\)
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\(x^2 + y^2 - 2x - 4y + 5 = 0\)
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\(x^2 + y^2 - 6x + 4y + 14 = 0\)
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\(x^2 - x + y^2 + 3y - 4 = 0\)
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Soient \(A(-1;2)\) et \(B(-5;4)\). Déterminer une équation du cercle de diamètre \([AB]\) par deux méthodes différentes.
Exercice n°1
Dans un repère orthonormé direct \((O; \vec{i}; \vec{j})\), on considère les points \(A(2;-1)\), \(B(-4;-3)\), \(C(1;-3)\).
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Calculer \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\cos(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\) et \(\sin(\widehat{\overrightarrow{AB};\overrightarrow{AC}})\). En déduire la mesure principale de l’angle.
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Calculer l’aire du triangle \(ABC\).
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Déterminer une équation cartésienne de la droite \((D)\) passant par \(B\) et perpendiculaire à \((AC)\).
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Soit \((\mathcal{C}): x^2 + y^2 + 2x + 4y - 5 = 0\). Déterminer son centre et son rayon. Vérifier que \((\mathcal{C})\) est le cercle de diamètre \([AB]\).
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Donner une équation cartésienne de la tangente \(\Delta\) à \((\mathcal{C})\) en \(A\), puis une représentation paramétrique de \((\mathcal{C})\).
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Étudier la position relative de \((\mathcal{C})\) et \((D)\). Donner les coordonnées des points d’intersection s’ils existent.
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Résoudre graphiquement le système : \(\begin{cases} x^2 + y^2 + 2x + 4y - 5 < 0 \\ x + 2y + 10 \geq 0 \end{cases}\).
À retenir
Remarque
Le produit scalaire relie longueurs, angles et orthogonalité. Dans un repère orthonormé, il se calcule avec les coordonnées et permet d’étudier les droites, les cercles et leurs positions relatives.
S’entraîner avec la série d’exercices de ce chapitre.