Ensembles de nombres
Table des matières
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Ensembles usuels
Définition
-
\(\mathbb N=\{0,1,2,\ldots\}\) : entiers naturels.
-
\(\mathbb Z\) : entiers relatifs.
-
\(\mathbb D=\left\{\frac a{10^n};\,a\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\right\}\) : décimaux.
-
\(\mathbb Q=\left\{\frac ab;\,a\in\mathbb Z,\ b\in\mathbb Z^*\right\}\) : rationnels.
-
\(\mathbb R\) : nombres réels.
Propriété
\[\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.\]
Un réel qui n’appartient pas à \(\mathbb Q\) est irrationnel. Par exemple, \(\sqrt2\) et \(\pi\) sont irrationnels.
Remarque
\(\mathbb N^*=\mathbb N\setminus\{0\}\). On appelle entiers relatifs non positifs les éléments de \(\mathbb Z_-=\{\ldots,-2,-1,0\}\).
Exemple
Déterminer le plus petit ensemble parmi \(\mathbb N,\mathbb Z,\mathbb D,\mathbb Q,\mathbb R\) auquel appartient chacun des nombres
\(-7\), \(\frac38\), \(\frac13\), \(\sqrt{49}\), \(-\sqrt5\) et \(2+\pi\).
Écritures décimales
Propriété
Un nombre est décimal si son écriture décimale est finie. Un nombre est rationnel si et seulement si son écriture décimale est finie ou périodique à partir d’un certain rang. Une écriture infinie non périodique représente un irrationnel.
Exemple
Classer \(0{,}125\), \(0{,}\overline{27}\), \(0{,}1010010001\ldots\) et \(\sqrt3\) en justifiant à partir de leur écriture décimale.
Puissances de dix
Propriété
Pour \(m,n\in\mathbb Z\) :
\[10^m10^n=10^{m+n},\qquad \frac{10^m}{10^n}=10^{m-n}, \qquad (10^m)^n=10^{mn}.\]
Multiplier par \(10^n\) décale la virgule de \(n\) rangs vers la droite si \(n>0\), vers la gauche si \(n<0\).
Exemple
Écrire sous la forme d’une puissance de dix :
\(10^7\times10^{-3}\), \(\frac{10^{-5}}{10^2}\) et \((10^{-2})^4\).
Notation scientifique et ordre de grandeur
Définition
L’écriture scientifique d’un nombre non nul est \(a\times10^n\), avec \(n\in\mathbb Z\) et \(1\leq |a|<10\).
Propriété
Pour \(x=a\times10^n\) avec \(1\leq a<10\), un ordre de grandeur est la puissance de dix la plus proche :
\[\text{si }a<\sqrt{10},\quad 10^n;\qquad \text{si }a\geq\sqrt{10},\quad 10^{n+1}.\]
Il sert à contrôler rapidement la vraisemblance d’un résultat.
Exemple
Donner l’écriture scientifique et un ordre de grandeur de \(0{,}000\,728\), \(51\,300\,000\) et du produit \((3{,}2\times10^5)(7{,}5\times10^{-3})\).
Puissances entières
Propriété
Pour \(a,b\neq0\) et \(m,n\in\mathbb Z\) :
\[a^ma^n=a^{m+n},\quad \frac{a^m}{a^n}=a^{m-n},\quad (a^m)^n=a^{mn},\quad (ab)^n=a^nb^n,\quad \left(\frac ab\right)^n=\frac{a^n}{b^n}.\]
Exemple
Simplifier \(\frac{2^7\,3^{-2}}{2^{-1}3^4}\) et écrire le résultat avec des exposants positifs.
Racines carrées
Définition
Pour \(a\geq0\), \(\sqrt a\) est l’unique réel positif dont le carré vaut \(a\).
Propriété
Pour \(a,b\geq0\) et \(b>0\) :
\[\sqrt{ab}=\sqrt a\sqrt b,\qquad \sqrt{\frac ab}=\frac{\sqrt a}{\sqrt b},\qquad \sqrt{a^2}=|a|.\]
Exemple
Simplifier \(\sqrt{72}-2\sqrt8+\sqrt{50}\), puis rationaliser le dénominateur de \(\frac3{\sqrt5}\).
Identités remarquables
Propriété
\[(a+b)^2=a^2+2ab+b^2,\quad (a-b)^2=a^2-2ab+b^2\]
\[(a-b)(a+b)=a^2-b^2.\]
\[a^3-b^3=(a-b)(a^2+ab+b^2),\]
\[a^3+b^3=(a+b)(a^2-ab+b^2).\]
Exemple
Développer \((2x-3)^2\), puis factoriser \(9x^2-25\), \(x^3-8\) et \(8x^3+27\).
À retenir. Identifier le plus petit ensemble contenant un nombre ; maîtriser puissances de dix, notation scientifique et ordre de grandeur ; respecter les conditions des règles de calcul.