Transformations dans le plan
Table des matières
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Translation
Définition
Soit \(\vec u\) un vecteur. La translation de vecteur \(\vec u\) transforme tout point \(M\) en l’unique point \(M'\) tel que \(\overrightarrow{MM'}=\vec u\). On note \(M'=t_{\vec u}(M)\).
Propriété
Pour construire \(M'\), on complète le parallélogramme déterminé par \(M\) et un représentant de \(\vec u\). La translation conserve les distances, l’alignement, les angles, le parallélisme et les aires.
Exemple
Dans un parallélogramme \(ABCD\), construire l’image de \(D\) par la translation qui transforme \(A\) en \(B\), puis identifier l’image du segment \([AD]\).
Symétrie centrale
Définition
La symétrie centrale de centre \(O\) transforme \(M\) en \(M'\) lorsque \(O\) est le milieu de \([MM']\). On note \(M'=s_O(M)\).
Propriété
La symétrie centrale est une isométrie. Elle conserve les distances, l’alignement, les angles, le parallélisme et les aires. L’image d’une droite est une droite parallèle, sauf si la droite passe par le centre.
Exemple
Soit un triangle \(ABC\) et un point \(O\) extérieur au triangle. Construire les images \(A'\), \(B'\) et \(C'\) par la symétrie de centre \(O\), puis comparer les triangles \(ABC\) et \(A'B'C'\).
Symétrie axiale
Définition
La symétrie orthogonale d’axe \((d)\) transforme \(M\) en \(M'\) lorsque \((d)\) est la médiatrice de \([MM']\). Tout point de \((d)\) est invariant.
Propriété
La symétrie axiale conserve les distances, l’alignement, les angles et les aires. Elle inverse l’orientation d’une figure.
Exemple
Tracer une droite \((d)\) et un triangle \(ABC\) qui la coupe. Construire le symétrique du triangle par rapport à \((d)\) et indiquer les points invariants éventuels.
Homothétie
Définition
Soit \(O\) un point et \(k\) un réel non nul. L’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(k\) transforme \(M\) en \(M'\) tel que \(\overrightarrow{OM'}=k\overrightarrow{OM}\).
Si \(k>0\), \(M\) et \(M'\) sont sur la même demi-droite d’origine \(O\). Si \(k<0\), ils sont sur des demi-droites opposées.
Propriété
Une homothétie de rapport \(k\) multiplie les longueurs par \(|k|\) et les aires par \(k^2\). Elle conserve l’alignement, les angles, le parallélisme et les coefficients de colinéarité.
Exemple
Construire l’image d’un triangle \(ABC\) par l’homothétie de centre \(O\) et de rapport \(-\dfrac32\). Comparer les sens des côtés correspondants.
Images des figures usuelles
Propriété
Une translation ou une symétrie transforme un segment, une droite, une demi-droite, un cercle et un angle en une figure de même nature et de mêmes dimensions.
Une homothétie transforme ces figures en figures de même nature et multiplie le rayon d’un cercle par \(|k|\).
Exemple
Un cercle \(\mathcal C\) a pour centre \(I\) et passe par \(A\). Décrire puis construire son image par une translation donnée.
Exemple
Décrire l’image d’une demi-droite \([AB)\) par une homothétie de centre \(O\) et de rapport négatif.
Reconnaître une transformation
Propriété
On reconnaît une transformation par sa propriété caractéristique : mêmes vecteurs \(\overrightarrow{MM'}\) pour une translation ; même milieu des segments \([MM']\) pour une symétrie centrale ; même médiatrice pour une symétrie axiale ; points \(O\), \(M\), \(M'\) alignés et rapport constant pour une homothétie.
Exemple
On donne trois couples de points \((A,A')\), \((B,B')\) et \((C,C')\). Proposer une construction permettant de déterminer s’ils correspondent à une translation, une symétrie centrale, une symétrie axiale ou une homothétie.
À retenir
Propriété
Les transformations sont étudiées par leurs constructions et leurs propriétés géométriques. Les translations et les symétries sont des isométries. L’homothétie conserve les angles et multiplie toutes les longueurs par \(|k|\).