Produit scalaire
Table des matières
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Définition du produit scalaire
Définition par projection orthogonale
Définition
Soient \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) deux vecteurs non nuls. On note \(H\) le
projeté orthogonal de \(C\) sur la droite \((AB)\).
Le produit scalaire de \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) est le nombre réel
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\overline{AB}\times\overline{AH},\]
où \(\overline{AB}\) et \(\overline{AH}\) sont des mesures algébriques prises
sur la droite \((AB)\) orientée de \(A\) vers \(B\).
Si l’un des deux vecteurs est nul, leur produit scalaire est nul.
Propriété
Pour tous vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\),
\[\vec u\cdot\vec v=\|\vec u\|\,\|\vec v\|\cos\alpha,\]
où \(\alpha\) est une mesure de l’angle formé par \(\vec u\) et \(\vec v\).
En particulier,
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=AB\times AC\times\cos\widehat{BAC}.\]
Remarque
Le signe du produit scalaire renseigne sur l’angle formé par deux vecteurs
non nuls. Il est positif pour un angle aigu, nul pour un angle droit et
négatif pour un angle obtus.
Exemple
Calculer \(\vec u\cdot\vec v\) lorsque \(\|\vec u\|=4\),
\(\|\vec v\|=3\) et \(\widehat{(\vec u,\vec v)}=\dfrac{2\pi}{3}\).
Propriété
Si \(C'\) et \(D'\) sont les projetés orthogonaux de \(C\) et \(D\) sur la droite
\((AB)\), alors
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=\overline{AB}\times\overline{C'D'}.\]
Cette formule permet de calculer un produit scalaire sans coordonnées.
Exercice n°1
\(ABCD\) est un rectangle tel que \(AB=6\) et \(AD=3\). Calculer
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}\), \(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AD}\) et
\(\overrightarrow{BA}\cdot\overrightarrow{BC}\).
Propriétés et orthogonalité
Règles de calcul
Propriété
Pour tous vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\), \(\vec w\) et tout réel \(k\),
\[\begin{align*} \vec u\cdot\vec v&=\vec v\cdot\vec u,\\ \vec u\cdot(\vec v+\vec w)&=\vec u\cdot\vec v+\vec u\cdot\vec w,\\ \vec u\cdot(k\vec v)&=k(\vec u\cdot\vec v). \end{align*}\]
Définition
Le carré scalaire d’un vecteur \(\vec u\) est
\[(\vec u)^2=\vec u\cdot\vec u=\|\vec u\|^2.\]
Ainsi, \((\vec u)^2\geq0\), avec égalité si et seulement si
\(\vec u=\vec 0\).
Propriété
Pour tous vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\),
\[\begin{align*} \|\vec u+\vec v\|^2&=\|\vec u\|^2+2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\\ \|\vec u-\vec v\|^2&=\|\vec u\|^2-2\vec u\cdot\vec v+\|\vec v\|^2,\\ (\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)&=\|\vec u\|^2-\|\vec v\|^2. \end{align*}\]
Par conséquent,
\[\vec u\cdot\vec v=\frac12\left(\|\vec u\|^2+\|\vec v\|^2 -\|\vec u-\vec v\|^2\right).\]
Vecteurs orthogonaux
Définition
Deux vecteurs \(\vec u\) et \(\vec v\) sont orthogonaux si et seulement si
\[\vec u\cdot\vec v=0.\]
Deux droites \((AB)\) et \((CD)\) sont perpendiculaires si et seulement si
\(\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{CD}=0\).
Propriété
Pour trois points \(A\), \(B\) et \(C\),
\[\overrightarrow{AB}\cdot\overrightarrow{AC}=\frac12\left(AB^2+AC^2-BC^2\right).\]
Cette relation est une forme géométrique de la formule de polarisation.
Exercice n°2
Soient \(\vec u\) et \(\vec v\) tels que \(\|\vec u\|=5\),
\(\|\vec v\|=2\) et \(\vec u\cdot\vec v=3\).
Calculer \(\|\vec u+\vec v\|^2\), \(\|\vec u-\vec v\|^2\) et
\((\vec u+\vec v)\cdot(\vec u-\vec v)\).
Théorème d’Al Kashi
Théorème
Dans un triangle \(ABC\), on pose \(a=BC\), \(b=CA\) et \(c=AB\). Alors
\[\begin{align*} a^2&=b^2+c^2-2bc\cos\widehat A,\\ b^2&=c^2+a^2-2ca\cos\widehat B,\\ c^2&=a^2+b^2-2ab\cos\widehat C. \end{align*}\]
Remarque
Lorsque \(\widehat A=\dfrac{\pi}{2}\), on retrouve le théorème de Pythagore.
Le théorème d’Al Kashi permet aussi de calculer un angle, par exemple
\[\cos\widehat A=\frac{b^2+c^2-a^2}{2bc}.\]
Exemple
Dans un triangle \(ABC\), \(AB=3\), \(AC=5\) et
\(\widehat A=\dfrac{\pi}{3}\). Calculer \(BC\) à l’aide du théorème d’Al-Kashi.
Propriété
L’aire \(\mathcal A\) d’un triangle \(ABC\) vérifie
\[\mathcal A=\frac12 AB\times AC\times\sin\widehat{BAC}.\]
Cette formule est utile lorsque deux côtés et l’angle compris sont connus.
Exercice n°3
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB=6\), \(AC=4\) et \(BC=5\).
Calculer \(\cos\widehat A\), puis déterminer l’aire du triangle.
Théorème de la médiane et lieux géométriques
Propriété
Soient \(A\) et \(B\) deux points distincts, \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(M\) un
point du plan. Alors
\[\overrightarrow{MA}+\overrightarrow{MB}=2\overrightarrow{MI}.\]
Théorème
Avec les mêmes notations,
\[\begin{align*} MA^2-MB^2&=2\overrightarrow{MI}\cdot\overrightarrow{BA},\\ \overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}&=MI^2-\frac14AB^2,\\ MA^2+MB^2&=2MI^2+\frac12AB^2. \end{align*}\]
La dernière égalité est le théorème de la médiane.
Propriété
Dans un triangle \(ABC\), si \(I\) est le milieu de \([AB]\), alors
\[CI^2=\frac12\left(CA^2+CB^2\right)-\frac14AB^2.\]
Propriété
Les égalités précédentes permettent de reconnaître des lieux usuels.
-
\(MA=MB\) caractérise la médiatrice de \([AB]\).
-
\(\overrightarrow{MA}\cdot\overrightarrow{MB}=0\) caractérise le cercle de diamètre \([AB]\).
-
\(MA^2+MB^2=k\), avec \(k>\dfrac12AB^2\), caractérise un cercle de centre \(I\).
-
\(MA^2-MB^2=k\) caractérise une droite perpendiculaire à \((AB)\).
Exercice n°4
\(A\) et \(B\) sont deux points tels que \(AB=6\) et \(I\) est le milieu de \([AB]\).
Déterminer la nature de l’ensemble des points \(M\) tels que
\(MA^2+MB^2=26\).
Relations métriques dans un triangle rectangle
Théorème
Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) et soit \(H\) le projeté orthogonal
de \(A\) sur \([BC]\). Alors
\[\begin{align*} AB^2&=BH\times BC,\\ AC^2&=CH\times BC,\\ AH^2&=BH\times CH,\\ AB\times AC&=AH\times BC. \end{align*}\]
Si \(I\) est le milieu de l’hypoténuse \([BC]\), alors
\[AI=BI=CI=\frac12BC.\]
Remarque
Réciproquement, chacune des égalités
\(AB^2=BH\times BC\), \(AC^2=CH\times BC\) et
\(AI=\dfrac12BC\) permet, avec les hypothèses géométriques correspondantes,
de reconnaître un triangle rectangle en \(A\).
Exemple
Dans un triangle rectangle en \(A\), le pied \(H\) de la hauteur issue de \(A\)
vérifie \(BH=9\) et \(CH=16\). Calculer \(BC\), \(AB\), \(AC\) et \(AH\).
Exercice n°5
\(ABC\) est rectangle en \(A\), \(H\) est le pied de la hauteur issue de \(A\),
\(BH=4\) et \(CH=5\). Calculer \(BC\), \(AB\), \(AC\) et \(AH\).
À retenir
Propriété
Le produit scalaire se construit géométriquement par projection orthogonale.
Il sert à reconnaître l’orthogonalité, calculer des longueurs, des angles et
des aires, établir des relations métriques et déterminer des lieux géométriques.
Son expression analytique n’est pas étudiée au Tronc Commun.