Série d’exercices

1. Déterminer le plus petit ensemble parmi \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb D\), \(\mathbb Q\) et \(\mathbb R\) auquel appartient chacun des nombres suivants :
   \[-12,\qquad \frac{7}{20},\qquad \frac{5}{6},\qquad \sqrt{81},\qquad -\sqrt{3}.\]

2. Compléter par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
   \[-12\ \ldots\ \mathbb N,\qquad \frac{7}{20}\ \ldots\ \mathbb D,\qquad \mathbb N\ \ldots\ \mathbb Q,\qquad \mathbb Q\ \ldots\ \mathbb Z.\]

1. Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels. Montrer que si l’un d’eux est pair, alors \(a\times b\) est pair.

2. Soit \(n\) un entier naturel. Étudier la parité des nombres suivants :
   \[A=(2n+7)(2n+6),\qquad B=12n+5,\qquad C=n(n+1)(n+2),\qquad D=n^{2}+4n+8.\]

1. Montrer que si \(a\) est un multiple de \(3\) et \(b\) un nombre pair, alors \(2a+3b\) est un multiple de \(6\).

2. Soit \(n\) un entier naturel. Montrer que \(n(n+1)(n+2)(n+3)\) est un multiple de \(4\).

3. Existe-t-il un entier naturel \(n\) tel que \(n(n+1)(n+2)(n+3)=2010\) ?

Soit \(n\) un entier naturel impair.

1. Montrer que \(n^{2}-1\) est divisible par \(8\).

2. En déduire que \(n^{4}-1\) est divisible par \(16\).

3. Soit \(m\) un entier naturel tel que \(m\geq 4\) et \(m-4\) est un multiple de \(5\). Montrer que \(m^{2}-1\) est un multiple de \(5\).

1. Déterminer tous les chiffres \(a\) tels que le nombre \(\overline{5a74}\) soit divisible par \(3\).

2. Déterminer le chiffre \(b\) tel que le nombre \(\overline{815b}\) soit divisible à la fois par \(2\) et par \(9\).

3. Déterminer tous les chiffres \(c\) tels que le nombre \(\overline{921c}\) soit divisible par \(3\) mais pas par \(9\).

1. Effectuer la division euclidienne de \(987\) par \(23\), puis celle de \(2025\) par \(37\).

2. Calculer \(\mathrm{PGCD}(391;299)\) en utilisant l’algorithme d’Euclide.

Déterminer si chacun des nombres \(97\) et \(221\) est premier ou composé. Lorsqu’un nombre est composé, le décomposer en facteurs premiers.

1. Décomposer en facteurs premiers \(a\) et \(b\), puis déterminer \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) et \(\mathrm{PPCM}(a;b)\) dans chacun des cas suivants :

   1. \(a=120\), \(b=82\).

   2. \(a=1176\), \(b=7425\).

   3. \(a=12\,375\), \(b=6860\).

Soient \(a=2160\) et \(b=4860\).

1. Décomposer en facteurs premiers les nombres \(a\) et \(b\).

2. En déduire une décomposition en facteurs premiers des nombres \(a^{3}b^{2}\) et \(a^{3}b^{3}\).

3. Simplifier les expressions : \(\sqrt{a}\) et \(\sqrt{b}\).

4. Montrer que \(\sqrt{a\times b}\) est un entier naturel.

5. Simplifier la fraction \(\dfrac{a}{b}\).

Soient \(n\) un entier naturel, et \(a\), \(b\) deux entiers naturels définis par :
\[b=3\cdot 7^{n+1}+5\cdot 7^{n} \qquad\text{et}\qquad a=7^{n+2}-7^{n}.\]

1. Montrer que \(a\) est un multiple de \(3\) et \(b\) un multiple de \(13\).

2. Décomposer \(a\) et \(b\) en facteurs premiers.

3. En déduire \(\mathrm{PGCD}(a;b)\) et \(\mathrm{PPCM}(a;b)\).

Soit \(m\) un entier naturel.

1. Montrer que si \(m\) est pair, alors \(m^{2}\) est pair.

2. Montrer que si \(m\) est impair, alors \(m^{2}\) est impair.

3. Tout nombre impair est il premier ? Justifier.

4. Tout nombre premier est il impair ? Justifier.

Soit \(n\) un entier naturel tel que \(n\geq 2\).

1. Développer \((n^{2}+2)^{2}\).

2. Écrire \(n^{4}+4\) sous forme de différence de deux carrés parfaits¹.

3. En déduire que \(n^{4}+4\) est un nombre composé.

4. Écrire les nombres suivants comme somme de deux carrés de naturels consécutifs :
   \[5,\quad 13,\quad 25,\quad 41,\quad 61.\]

Pour tout entier naturel \(n\), on pose \(f(n)=9^{n}+5^{n}+2\).

1. Calculer \(f(0)\) et \(f(1)\).

2. 1. Montrer que \(f(n+1)=9\,f(n)-4\cdot 5^{n}-16\).

   2. En déduire que si \(4\) divise \(f(n)\), alors \(4\) divise \(f(n+1)\).

   3. Conclure par récurrence que, pour tout \(n\in\mathbb N\), le nombre \(f(n)\) est divisible par \(4\).

Soient \(a\) et \(b\) deux entiers naturels vérifiant :
\[\left\{ \begin{array}{ll} a+b &= 504 \\ \mathrm{PGCD}(a;b) &= 24 \end{array} \right.\]
Déterminer toutes les valeurs possibles de \((a;b)\).

1. Déterminer tous les diviseurs de \(15\).

2. Déterminer tous les couples \((x;y)\) d’entiers naturels qui vérifient :
   \[(x-2)(y+2)=15.\]

Soit \(n\in\mathbb{N}\). On pose \(A=n(n+1)(n+2)(n+3)+1\).
Montrer que \(A\) est un carré parfait.

1. Déterminer tous les entiers naturels \(n\) tels que \(\dfrac{n+15}{n+3}\in\mathbb{N}\).

2. Déterminer tous les entiers naturels \(n\) tels que \(\dfrac{2n+11}{n+1}\in\mathbb{N}\).