Arithmétique dans N
Table des matières
Objectifs du chapitre
À la fin de ce chapitre, l’élève doit être capable de :
-
distinguer les ensembles de nombres et utiliser correctement les symboles d’appartenance et d’inclusion ;
-
reconnaître la parité d’un entier naturel ;
-
utiliser les notions de multiple et de diviseur ;
-
effectuer une division euclidienne ;
-
reconnaître un nombre premier et décomposer un entier en facteurs premiers ;
-
calculer un PGCD et un PPCM.
Rappels sur les ensembles de nombres
Définition
On distingue les ensembles usuels suivants :
-
\(\mathbb N=\{0,1,2,3,\ldots\}\) : ensemble des entiers naturels ;
-
\(\mathbb Z=\{\ldots,-2,-1,0,1,2,\ldots\}\) : ensemble des entiers relatifs ;
-
\(\mathbb D=\left\{\dfrac{a}{10^n}\,;\ a\in\mathbb Z,\ n\in\mathbb N\right\}\) : ensemble des nombres décimaux ;
-
\(\mathbb Q=\left\{\dfrac{a}{b}\,;\ a\in\mathbb Z,\ b\in\mathbb Z^*\right\}\) : ensemble des nombres rationnels ;
-
\(\mathbb R\) : ensemble des nombres réels.
Ces ensembles vérifient la chaîne d’inclusions
\[\mathbb N\subset\mathbb Z\subset\mathbb D\subset\mathbb Q\subset\mathbb R.\]
Remarque
Soient \(x\) un nombre et \(A\), \(B\) deux ensembles.
-
\(x\in A\) signifie que \(x\) appartient à \(A\).
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\(x\notin A\) signifie que \(x\) n’appartient pas à \(A\).
-
\(A\subset B\) signifie que \(A\) est inclus dans \(B\) : tout élément de \(A\) appartient à \(B\).
-
\(A\not\subset B\) signifie que \(A\) n’est pas inclus dans \(B\).
Le symbole \(\in\) relie un élément à un ensemble, tandis que le symbole \(\subset\) relie deux ensembles.
Exemple
Déterminer le plus petit ensemble parmi \(\mathbb N\), \(\mathbb Z\), \(\mathbb D\), \(\mathbb Q\) et \(\mathbb R\) auquel appartient chacun des nombres suivants :
\[-7,\qquad \frac38,\qquad \frac13,\qquad \sqrt{49},\qquad -\sqrt5.\]
Application
Compléter par \(\in\), \(\notin\), \(\subset\) ou \(\not\subset\) :
\[-7\ \ldots\ \mathbb N,\qquad \frac25\ \ldots\ \mathbb D,\qquad \mathbb N\ \ldots\ \mathbb Q,\qquad \mathbb Q\ \ldots\ \mathbb Z.\]
Entiers naturels et parité
Définition
On note \(\mathbb N^{*}=\mathbb N\setminus\{0\}=\{1,2,3,\ldots\}\) l’ensemble des entiers naturels non nuls. Le nombre \(0\) est le plus petit élément de \(\mathbb N\) et \(\mathbb N\) n’admet pas de plus grand élément.
Soit \(n\in\mathbb N\) :
-
\(n\) est pair s’il existe \(k\in\mathbb N\) tel que \(n=2k\).
-
\(n\) est impair s’il existe \(k\in\mathbb N\) tel que \(n=2k+1\).
Propriété
Tout entier naturel est soit pair, soit impair, et jamais les deux à la fois. De plus :
-
La somme de deux entiers de même parité est paire.
-
La somme de deux entiers de parités différentes est impaire.
-
Le produit de deux entiers consécutifs est pair.
Exemple
Étudier la parité des nombres suivants :
\[17,\qquad 24,\qquad 17+24,\qquad 17\times24.\]
Application
Soit \(n\in\mathbb N\).
-
Montrer que \(n(n+1)\) est pair.
-
Déterminer la parité de \(n^2+n+1\).
Multiples et diviseurs
Définition
Soient \(a\in\mathbb N\) et \(b\in\mathbb N^{*}\). On dit que \(a\) est un multiple de \(b\), ou que \(b\) est un diviseur de \(a\), s’il existe \(k\in\mathbb N\) tel que
\[a=kb.\]
Propriété
Si \(d\) divise \(a\) et \(b\), alors \(d\) divise \(a+b\) et, lorsque \(a\geq b\), \(a-b\). Si \(d\) divise \(a\), alors \(d\) divise tout multiple de \(a\).
Exemple
À partir de l’égalité \(24=3\times8\), citer deux diviseurs de \(24\) et deux multiples de \(3\).
Propriété
Un entier naturel est divisible par :
-
\(2\) si son chiffre des unités est pair ;
-
\(3\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(3\) ;
-
\(4\) si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est divisible par \(4\) ;
-
\(5\) si son chiffre des unités est \(0\) ou \(5\) ;
-
\(9\) si la somme de ses chiffres est divisible par \(9\) ;
-
\(10\) si son chiffre des unités est \(0\).
Exemple
Étudier la divisibilité de \(2310\) par \(2\), \(3\), \(4\), \(5\), \(9\) et \(10\).
Application
-
Déterminer les diviseurs de \(36\).
-
Montrer que si \(a\) et \(b\) sont des multiples de \(d\), alors \(3a+2b\) est un multiple de \(d\).
Division euclidienne
Théorème
Soient \(a\in\mathbb N\) et \(b\in\mathbb N^{*}\). Il existe un unique couple \((q,r)\in\mathbb N^2\) tel que
\[a=bq+r\qquad\text{et}\qquad 0\leq r<b.\]
\(q\) est le quotient et \(r\) est le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\).
Dans cette égalité, \(a\) est le dividende, \(b\) le diviseur, \(q\) le quotient et \(r\) le reste. En particulier,
\(b\) divise \(a\) si et seulement si le reste de la division euclidienne de \(a\) par \(b\) est nul.
Exemple
Effectuer la division euclidienne de \(427\) par \(23\), puis identifier le quotient et le reste.
Application
Effectuer la division euclidienne de \(1234\) par \(56\), puis de \(245\) par \(13\).
Nombres premiers et décomposition
Définition
Un entier naturel \(p\geq2\) est premier s’il admet exactement deux diviseurs : \(1\) et \(p\).
Les nombres \(0\) et \(1\) ne sont ni premiers ni composés. Un entier naturel supérieur ou égal à \(2\) qui n’est pas premier est appelé nombre composé.
Proposition
Pour vérifier qu’un entier \(n\geq2\) est premier, il suffit de tester sa divisibilité par les nombres premiers inférieurs ou égaux à \(\sqrt n\).
Exemple
Déterminer si les nombres \(127\) et \(217\) sont premiers ou composés.
Théorème
Tout entier naturel \(n\geq2\) se décompose de manière unique, à l’ordre des facteurs près, en produit de nombres premiers.
Pour obtenir cette décomposition, on divise successivement le nombre par \(2\), puis par \(3\), \(5\), \(7\), et ainsi de suite, jusqu’à obtenir \(1\).
Exemple
Décomposer \(360\) en produit de facteurs premiers.
Application
Décomposer \(756\) en produit de facteurs premiers.
PGCD et PPCM
Définition
Soient \(a,b\in\mathbb N^{*}\).
-
\(\mathrm{PGCD}(a;b)\) est le plus grand diviseur commun de \(a\) et \(b\).
-
\(\mathrm{PPCM}(a;b)\) est le plus petit multiple commun non nul de \(a\) et \(b\).
-
\(a\) et \(b\) sont premiers entre eux lorsque \(\mathrm{PGCD}(a;b)=1\).
Propriété
Méthode par décomposition.
À partir des décompositions en facteurs premiers :
-
le PGCD utilise les facteurs communs avec les plus petits exposants ;
-
le PPCM utilise tous les facteurs avec les plus grands exposants.
De plus,
\[\mathrm{PGCD}(a;b)\times\mathrm{PPCM}(a;b)=ab.\]
Exemple
Calculer \(\mathrm{PGCD}(120;84)\) et \(\mathrm{PPCM}(120;84)\) à partir des décompositions en facteurs premiers, puis vérifier la relation entre le PGCD et le PPCM.
Algorithme d’Euclide
Propriété
Si \(a=bq+r\), alors
\[\mathrm{PGCD}(a;b)=\mathrm{PGCD}(b;r).\]
En répétant les divisions euclidiennes, le PGCD est le dernier reste non nul.
Exemple
Calculer \(\mathrm{PGCD}(252;105)\) en utilisant l’algorithme d’Euclide.
Application
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Décomposer \(756\) et \(540\) en facteurs premiers.
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En déduire leur PGCD et leur PPCM.
-
Vérifier les résultats avec la relation entre le PGCD et le PPCM.