Série d’exercices

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \(3x^{2}+5x-2=0\)

2. \(4x^{2}-12x+9=0\)

3. \(x^{2}+x+3=0\)

4. \(2x^{2}-7x+3=0\)

5. \(x^{2}-(2+\sqrt{3})x+2\sqrt{3}=0\)

Factoriser, lorsque cela est possible, les trinômes suivants :

1. \(P(x)=x^{2}-7x+12\)

2. \(Q(x)=2x^{2}-3x-2\)

3. \(R(x)=x^{2}-6x+9\)

4. \(S(x)=-x^{2}+x-1\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes (avec tableaux de signes) :

1. \(x^{2}-4x+3\leq 0\)

2. \(-2x^{2}+x+1>0\)

3. \(x^{2}+x+1>0\)

4. \((x^{2}-1)(x^{2}-4x+3)\geq 0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations rationnelles suivantes :

1. \(\dfrac{x-2}{x+1}\geq 0\)

2. \(\dfrac{x^{2}-9}{x-1}\leq 0\)

3. \(\dfrac{2x-3}{x^{2}-4}>0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations bicarrées suivantes :

1. \(x^{4}-5x^{2}+4=0\)

2. \(x^{4}-13x^{2}+36=0\)

3. \(x^{4}+5x^{2}-6=0\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) par changement de variable :

1. \((x+1)^{2}-5(x+1)+6=0\)

2. \((x^{2}-x)^{2}-2(x^{2}-x)-3=0\)

Soient \(x_{1}\) et \(x_{2}\) les deux racines (supposées réelles) de l’équation \(x^{2}-5x+3=0\). Sans résoudre l’équation :

1. Calculer \(S=x_{1}+x_{2}\) et \(P=x_{1}\,x_{2}\).

2. En déduire \(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}\) puis \(\dfrac{1}{x_{1}}+\dfrac{1}{x_{2}}\).

3. Calculer \(x_{1}^{3}+x_{2}^{3}\).

Trouver deux nombres réels dont la somme vaut \(S=7\) et le produit vaut \(P=12\).

Résoudre les systèmes suivants par la méthode de votre choix. Pour le système (a), effectuer aussi une résolution graphique dans le repère fourni.

1. \(\begin{cases}3x-2y=4 \\ x+y=3\end{cases}\)

2. \(\begin{cases}2x+5y=8 \\ 4x+10y=15\end{cases}\)

3. \(\begin{cases}x+y=10 \\ 2x-3y=5\end{cases}\)

Problème (mise en équation).

La somme de deux nombres est \(24\) et leur produit est \(135\).
Quels sont ces deux nombres ?

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :

1. \(|2x-3|=7\).

2. \(|x+2|\leq5\).

3. \(|3x-1|>4\).

4. \(|x-1|=|2x+3|\).

Dans un repère, représenter l’ensemble des points \(M(x\,;y)\) qui vérifient chacune des inéquations suivantes :

1. \(x+y\leq4\).

2. \(2x-y>2\).

3. \(x\geq1\).

4. \(y<3\).

Préciser si la droite frontière appartient à chaque ensemble solution.

Représenter la région admissible du système
\[\begin{cases} x\geq0,\\ y\geq0,\\ x+y\leq6,\\ 2x+y\leq8. \end{cases}\]
Déterminer graphiquement puis algébriquement les coordonnées de ses sommets.

Un atelier fabrique deux modèles de tables. Une table de type \(A\) nécessite \(2\) heures de découpe et \(1\) heure de montage. Une table de type \(B\) nécessite \(1\) heure de découpe et \(2\) heures de montage. L’atelier dispose de \(18\) heures pour chaque opération. Le bénéfice est de \(300\) dirhams par table \(A\) et de \(250\) dirhams par table \(B\).

1. Noter \(x\) et \(y\) les quantités produites et traduire les contraintes par un système d’inéquations.

2. Représenter la région admissible et déterminer ses sommets.

3. Écrire la fonction bénéfice et déterminer le bénéfice maximal.