Équations et inéquations
Table des matières
Équations et inéquations du premier degré
Définition
Une équation du premier degré à une inconnue est une équation de la forme :
\[ax+b=0,\qquad a,b\in\mathbb{R},\ a\neq 0.\]
Propriété
L’équation \(ax+b=0\) (avec \(a\neq 0\)) admet une unique solution :
\[x=-\dfrac{b}{a}.\]
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
-
\(3x-7=2x+1\).
-
\(5-2x=3x+10\).
Propriété
Pour résoudre l’inéquation \(ax+b\geq 0\) (ou \(\leq\), \(<\), \(>\)) :
-
Si \(a>0\) : \(ax+b\geq 0 \iff x\geq -\dfrac{b}{a}\).
-
Si \(a<0\) : \(ax+b\geq 0 \iff x\leq -\dfrac{b}{a}\) (le sens de l’inégalité change).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :
-
\(-2x+5\leq 3\).
-
\(4x-7>2x+1\).
Exercice n°1
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
-
\(3x-7=2x+5\) ;
-
\(-2x+1\geq 9\) ;
-
\(4x+3<6x-5\).
Signe du binôme \(ax+b\)
Propriété
Soit \(a\neq0\). Le binôme \(ax+b\) s’annule en \(x_0=-\dfrac{b}{a}\) et son signe est celui de \(a\) à droite de \(x_0\).
\[\begin{array}{c|ccc} x&-\infty&x_0&+\infty\\ \hline ax+b&-\operatorname{sgn}(a)&0&\operatorname{sgn}(a) \end{array}\]
Ce tableau permet d’étudier rapidement le signe d’un produit ou d’un quotient de binômes.
Exemple
Étudier le signe des expressions suivantes :
-
\((2x-3)(5-x)\).
-
\(\dfrac{3x+6}{1-2x}\).
Valeur absolue et disjonction des cas
Propriété
Pour \(a\geq 0\) et \(u\in\mathbb{R}\) :
-
\(|u|=a\) équivaut à \(u=a\) ou \(u=-a\).
-
\(|u|\leq a\) équivaut à \(-a\leq u\leq a\).
-
\(|u|\geq a\) équivaut à \(u\leq-a\) ou \(u\geq a\).
Ces équivalences permettent de résoudre des équations et des inéquations simples en distinguant les cas nécessaires.
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
-
\(|2x-3|=5\).
-
\(|x+1|\leq 4\).
-
\(|3x-2|>7\).
Équations du second degré
Définition
Une équation du second degré à une inconnue est une équation de la forme :
\[ax^{2}+bx+c=0,\qquad a,b,c\in\mathbb{R},\ a\neq 0.\]
L’expression \(ax^{2}+bx+c\) est appelée trinôme du second degré.
Forme canonique
Propriété
Soit \(a\neq 0\). Pour tout \(x\in\mathbb{R}\) :
\[ax^{2}+bx+c = a\!\left[\left(x+\dfrac{b}{2a}\right)^{2}-\dfrac{b^{2}-4ac}{4a^{2}}\right].\]
Définition
Le nombre \(\Delta=b^{2}-4ac\) est appelé discriminant de l’équation \(ax^{2}+bx+c=0\).
Résolution selon le signe du discriminant
Théorème
Soit l’équation \(ax^{2}+bx+c=0\) (\(a\neq 0\)) de discriminant \(\Delta=b^{2}-4ac\).
-
Si \(\Delta>0\) : l’équation admet deux solutions distinctes :
\[x_{1}=\dfrac{-b-\sqrt{\Delta}}{2a},\qquad x_{2}=\dfrac{-b+\sqrt{\Delta}}{2a}.\] -
Si \(\Delta=0\) : l’équation admet une unique solution (dite double) :
\[x_{0}=-\dfrac{b}{2a}.\] -
Si \(\Delta<0\) : l’équation n’admet aucune solution dans \(\mathbb{R}\).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes en précisant le signe du discriminant :
-
\(2x^{2}-5x+2=0\).
-
\(x^{2}-6x+9=0\).
-
\(x^{2}+x+1=0\).
Factorisation du trinôme
Propriété
Soit \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) avec \(a\neq 0\).
-
Si \(\Delta>0\) et \(x_{1},x_{2}\) sont les deux racines, alors :
\[ax^{2}+bx+c=a(x-x_{1})(x-x_{2}).\] -
Si \(\Delta=0\) et \(x_{0}\) est la racine double, alors :
\[ax^{2}+bx+c=a(x-x_{0})^{2}.\] -
Si \(\Delta<0\), le trinôme n’est pas factorisable dans \(\mathbb{R}\).
Somme et produit des racines
Théorème
Si \(ax^{2}+bx+c=0\) admet deux racines \(x_{1}\) et \(x_{2}\) comptées avec leur multiplicité, alors :
\[S=x_{1}+x_{2}=-\dfrac{b}{a},\qquad P=x_{1}\times x_{2}=\dfrac{c}{a}.\]
Remarque
Réciproque : si deux nombres ont pour somme \(S\) et produit \(P\), alors ils sont les solutions de l’équation :
\[X^{2}-SX+P=0.\]
Exemple
Sans calculer les racines des équations suivantes, déterminer leur somme et leur produit, puis vérifier qu’elles admettent des racines réelles :
-
\(2x^{2}-5x+2=0\).
-
\(3x^{2}+x-2=0\).
Exercice n°2
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(x^{2}-5x+6=0\).
-
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(x^{2}+4x+4=0\), puis \(x^{2}+x+1=0\).
-
Sans calculer les racines, donner leur somme et leur produit pour l’équation \(2x^{2}-7x+3=0\).
Signe du trinôme
Théorème
Soit \(f(x)=ax^{2}+bx+c\) avec \(a\neq 0\) et \(\Delta=b^{2}-4ac\).
Si \(\Delta>0\) (racines \(x_{1}<x_{2}\)) :
\[\begin{array}{|c|ccccccc|} \hline x & -\infty & & x_{1} & & x_{2} & & +\infty \\ \hline f(x) & & \text{signe de } a & 0 & \text{signe de } -a & 0 & \text{signe de } a & \\ \hline \end{array}\]
Si \(\Delta=0\) (racine double \(x_{0}\)) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) pour tout \(x\neq x_{0}\), nul en \(x_{0}\).
Si \(\Delta<0\) : \(f(x)\) est du signe de \(a\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\).
Remarque
Mnémotechnique : « extérieur du signe de \(a\), intérieur du signe contraire ».
Exemple
Étudier le signe des trinômes suivants et dresser leur tableau de signes :
-
\(f(x)=-x^{2}+3x-2\).
-
\(g(x)=2x^{2}+x+3\).
Exercice n°3
Étudier le signe de chacune des fonctions suivantes sur \(\mathbb{R}\) :
-
\(f(x)=x^{2}-4\) ;
-
\(g(x)=-x^{2}+5x-6\) ;
-
\(h(x)=x^{2}+2x+5\).
Inéquations du second degré
Remarque
Méthode : pour résoudre \(ax^{2}+bx+c\geq 0\) (ou \(\leq\), \(<\), \(>\)) :
-
Calculer \(\Delta\), trouver les racines (s’il y en a).
-
Dresser le tableau de signes.
-
Lire les solutions sur le tableau.
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(x^{2}-5x+6>0\) en utilisant un tableau de signes.
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’inéquation \(-x^{2}+4x-4\geq 0\) en utilisant un tableau de signes.
Exercice n°4
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
-
\(x^{2}-x-6\leq 0\) ;
-
\(-2x^{2}+8>0\) ;
-
\(x^{2}-6x+9>0\).
Équations se ramenant au second degré
Équations bicarrées
Définition
Une équation bicarrée est de la forme :
\[ax^{4}+bx^{2}+c=0,\qquad a\neq 0.\]
Remarque
Méthode : on pose \(X=x^{2}\) (donc \(X\geq 0\)). L’équation devient \(aX^{2}+bX+c=0\). On résout en \(X\), puis pour chaque solution \(X\geq 0\), on revient à \(x=\pm\sqrt{X}\).
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \(x^{4}-5x^{2}+4=0\) en posant \(X=x^{2}\).
Équations avec changement de variable
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) l’équation \((x-1)^{2}-3(x-1)+2=0\) en choisissant un changement de variable adapté.
Exercice n°5
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) :
-
\(x^{4}-10x^{2}+9=0\) ;
-
\(\sqrt{x+1}=x-1\) ;
-
\(\dfrac{2x-1}{x+2}=3\).
Systèmes linéaires à deux inconnues
Forme générale d’un système
Définition
Un système linéaire de deux équations à deux inconnues est de la forme :
\[(S):\ \begin{cases}ax+by=c \\ a'x+b'y=c'\end{cases}\]
où \(a,b,c,a',b',c'\in\mathbb{R}\), \((a,b)\neq (0,0)\), \((a',b')\neq (0,0)\).
Définition
Le déterminant du système \((S)\) est :
\[\det(S)=\begin{vmatrix}a & b\\ a' & b'\end{vmatrix}=ab'-a'b.\]
Théorème
-
Si \(\det(S)\neq 0\) : le système admet une unique solution \((x_{0}\,;y_{0})\).
-
Si \(\det(S)=0\) : le système n’admet aucune solution ou en admet une infinité (selon les coefficients \(c\), \(c'\)).
Méthodes de résolution
Remarque
-
Substitution : exprimer une inconnue en fonction de l’autre dans une équation, substituer dans la seconde.
-
Combinaison linéaire : multiplier les équations par des constantes pour éliminer une inconnue par addition.
-
Cramer (cas \(\det(S)\neq 0\)) :
\[x_{0}=\dfrac{1}{\det(S)}\begin{vmatrix}c & b\\ c' & b'\end{vmatrix},\qquad y_{0}=\dfrac{1}{\det(S)}\begin{vmatrix}a & c\\ a' & c'\end{vmatrix}.\]
Interprétation graphique
Propriété
Chaque équation du système représente une droite. Les solutions du système sont les coordonnées des points communs aux deux droites :
-
droites sécantes : une solution ;
-
droites parallèles distinctes : aucune solution ;
-
droites confondues : une infinité de solutions.
Exemple
Résoudre graphiquement, puis par substitution, le système
\[\begin{cases}x+y=4 \\ 2x-y=2.\end{cases}\]
Comparer les deux résultats.
Exercice n°6
Résoudre les systèmes suivants par deux méthodes différentes :
-
\(\begin{cases}4x+3y=18 \\ 2x-y=4\end{cases}\).
-
\(\begin{cases}3x-2y=7 \\ x+y=4\end{cases}\).
Inéquations du premier degré à deux inconnues
Définition
Une inéquation du premier degré à deux inconnues s’écrit
\[ax+by+c\geq0,\]
ou avec l’un des signes \(\leq\), \(<\) ou \(>\), où \((a,b)\neq(0,0)\).
Sa frontière est la droite d’équation \(ax+by+c=0\).
Propriété
La droite frontière partage le plan en deux demi plans. Pour déterminer le demi plan solution :
-
Tracer la droite frontière. Elle est incluse pour \(\leq\) ou \(\geq\) et exclue pour \(<\) ou \(>\).
-
Choisir un point test qui n’appartient pas à la droite, souvent l’origine.
-
Remplacer ses coordonnées dans l’inéquation, puis conserver ou rejeter le demi plan qui le contient.
Exemple
Dans le repère ci-dessous, représenter successivement les ensembles de points \(M(x\,;y)\) vérifiant :
-
\(2x+y\leq4\).
-
\(x-2y>2\).
Préciser dans chaque cas si la droite frontière appartient à l’ensemble solution.
Exercice n°7
Représenter graphiquement les solutions de \(3x-2y+6\geq0\), puis déterminer si les points \(A(0\,;0)\), \(B(-2\,;1)\) et \(C(2\,;5)\) appartiennent à cet ensemble.
Systèmes d’inéquations et régionnement du plan
Définition
Résoudre graphiquement un système d’inéquations du premier degré à deux inconnues consiste à intersecter les demi plans solutions de toutes ses inéquations. La partie commune est appelée région admissible.
Remarque
Une contrainte comme \(x\geq0\) impose le demi plan situé à droite de l’axe des ordonnées. Une contrainte comme \(y\geq0\) impose le demi plan situé au dessus de l’axe des abscisses.
Exemple
Représenter dans le repère ci-dessous la région admissible du système, puis déterminer les coordonnées de ses sommets :
\[\begin{cases} x\geq0,\\ y\geq0,\\ x+y\leq6,\\ 2x+y\leq8. \end{cases}\]
Exercice n°8
Représenter la région admissible du système
\[\begin{cases} x\geq0,\\ y\geq0,\\ x+2y\leq8,\\ 3x+y\leq9. \end{cases}\]
Déterminer graphiquement puis algébriquement les coordonnées de ses sommets.
À retenir
Propriété
-
Une équation ou une inéquation se résout dans un ensemble précisé.
-
La factorisation et le discriminant permettent d’étudier un trinôme.
-
Un système linéaire se résout par substitution, combinaison ou déterminant.
-
Une inéquation à deux inconnues définit un demi plan.
-
Un système d’inéquations définit l’intersection de plusieurs demi plans.