Série d’exercices

1. Convertir en radians : \(30^{\circ}\), \(135^{\circ}\), \(225^{\circ}\) et \(330^{\circ}\).

2. Convertir en degrés : \(\dfrac{7\pi}{12}\), \(-\dfrac{5\pi}{6}\) et \(\dfrac{11\pi}{5}\).

3. Convertir \(72^{\circ}\) en grades, puis \(150\) grades en degrés et en radians.

4. Déterminer l’abscisse curviligne principale de chacun des réels
   \[\frac{19\pi}{6},\qquad -\frac{29\pi}{4},\qquad \frac{41\pi}{3}.\]

Les vecteurs \(\vec u\), \(\vec v\) et \(\vec w\) sont non nuls.

1. On donne
   \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}\equiv\dfrac{7\pi}{6}\) et
   \(\widehat{(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})}\equiv-\dfrac{5\pi}{4}\) modulo \(2\pi\).
   Déterminer la mesure principale de \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w})}\).

2. Sachant que
   \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{w})}\equiv-\dfrac{2\pi}{5}\) et
   \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}\equiv\dfrac{3\pi}{10}\), déterminer une mesure de
   \(\widehat{(\overrightarrow{v},\overrightarrow{w})}\).

3. Que devient \(\widehat{(\overrightarrow{u},\overrightarrow{v})}\) si l’on remplace \(\overrightarrow{u}\) par \(-\overrightarrow{u}\) ?

1. Calculer exactement
   \[\cos\frac{5\pi}{6},\quad \sin\frac{7\pi}{4},\quad \tan\left(-\frac{2\pi}{3}\right),\quad \cos\frac{13\pi}{3}.\]

2. Soit \(x\in\left[\dfrac\pi2,\pi\right]\) tel que \(\sin x=\dfrac{5}{13}\).
   Calculer \(\cos x\) et \(\tan x\).

3. Simplifier, lorsque les expressions sont définies,
   \[A=\frac{1-\sin^2x}{\cos x}, \qquad B=\frac{1}{\cos^2x}-\tan^2x.\]

Exprimer chacune des quantités suivantes en fonction de \(\sin x\), \(\cos x\) ou \(\tan x\) :
\[\sin(\pi-x),\quad \cos(\pi+x),\quad \sin\left(\frac\pi2+x\right),\quad \cos\left(\frac{3\pi}{2}-x\right),\quad \tan(-x).\]
En déduire la valeur exacte de
\[\cos\frac{11\pi}{12}+\sin\frac{5\pi}{12}.\]

Résoudre :

1. dans \([0,2\pi[\), \(\cos x=\dfrac{\sqrt3}{2}\) ;

2. dans \(]-\pi,\pi]\), \(\sin x=-\dfrac{\sqrt2}{2}\) ;

3. dans \(\mathbb R\), \(\tan x=\sqrt3\) ;

4. dans \([0,4\pi[\), \(\cos x=\cos\dfrac{2\pi}{5}\) ;

5. dans \(\mathbb R\), \(\sin x=\sin\dfrac{\pi}{7}\).

Résoudre :

1. dans \([0,2\pi[\), \(\sin x\geq\dfrac12\) ;

2. dans \(]-\pi,\pi]\), \(\cos x<0\) ;

3. dans \([0,2\pi[\), \(\cos x\leq-\dfrac{\sqrt2}{2}\) ;

4. dans \(\mathbb R\), \(\tan x\geq1\).

Représenter les solutions des trois premières inéquations sur un cercle trigonométrique.

Les courbes ci dessous représentent les fonctions sinus et cosinus.

1. Associer chaque couleur à la fonction correspondante et justifier.

2. Lire les zéros des deux fonctions dans \([-\pi,\pi]\).

3. Donner les intervalles de croissance de chaque fonction dans \([-\pi,\pi]\).

4. Résoudre graphiquement dans \([-\pi,\pi]\) les inéquations
   \(\sin x\geq0\) et \(\cos x\leq\dfrac12\).

5. Retrouver la parité de chaque fonction à partir de sa courbe.

On considère la fonction \(f\) définie sur \(\mathbb R\) par \(f(x)=\cos(2x)\).

1. Montrer que \(f\) est paire et périodique de période \(\pi\).

2. Déterminer les valeurs de \(f\) en
   \(0\), \(\dfrac\pi6\), \(\dfrac\pi4\), \(\dfrac\pi3\) et \(\dfrac\pi2\).

3. Tracer la courbe de \(f\) sur \([-\pi,\pi]\) à partir de la courbe de la fonction cosinus.

4. Résoudre dans \([-\pi,\pi]\) l’équation \(f(x)=0\).

Dans un cercle de centre \(O\), les points \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) appartiennent au cercle dans cet ordre.
On donne \(\widehat{AOB}=120^{\circ}\) et \(\widehat{ADB}=60^{\circ}\).

1. Comparer les angles \(\widehat{ACB}\) et \(\widehat{ADB}\).

2. Déterminer \(\widehat{ACB}\) à partir de l’angle au centre \(\widehat{AOB}\).

3. Expliquer pourquoi les angles opposés de \(ABCD\) sont supplémentaires.

4. Dans une nouvelle configuration, si \([AB]\) est un diamètre, déterminer \(\widehat{ACB}\).

\(ABCD\) est un quadrilatère convexe tel que
\(\widehat{ABC}=72^{\circ}\) et \(\widehat{ADC}=108^{\circ}\).

1. Montrer que \(ABCD\) est inscriptible dans un cercle.

2. Comparer \(\widehat{BAC}\) et \(\widehat{BDC}\).

3. On suppose que \(\widehat{BAC}=35^{\circ}\) et \(\widehat{CAD}=28^{\circ}\).
   Déterminer \(\widehat{BDC}\), \(\widehat{CBD}\) et \(\widehat{BAD}\).

Dans un triangle \(ABC\), on pose \(a=BC\), \(b=CA\) et \(c=AB\).

1. On donne \(a=6\), \(b=3\sqrt2\) et \(\widehat A=45^{\circ}\).
   Calculer \(\sin\widehat B\), puis déterminer \(\widehat B\).

2. On donne \(\widehat A=30^{\circ}\) et \(a=5\). Calculer le rayon \(R\) du cercle circonscrit.

3. Dans un autre triangle, \(R=5\) et \(\widehat C=60^{\circ}\). Calculer le côté \(c\).

4. Montrer que \(a=2R\sin\widehat A\), puis exprimer de même \(b\) et \(c\).

Un triangle \(ABC\) vérifie \(AB=8\), \(AC=5\) et \(\widehat A=60^{\circ}\).

1. Calculer l’aire \(\mathcal A\) du triangle.

2. Sachant que \(BC=7\), calculer son demi périmètre puis le rayon \(r\) de son cercle inscrit.

3. Calculer le rayon \(R\) de son cercle circonscrit.

4. Vérifier la relation \(abc=4R\mathcal A\).

5. Déterminer la hauteur issue de \(B\).