Série d’exercices

Soit \(ABC\) un triangle, et soit \(I\) le milieu de \([BC]\).

1. Construire le projeté \(A'\) de \(A\) sur \((BC)\) parallèlement à \((AI)\). Que constate-t-on ?

2. Construire le projeté \(B'\) de \(B\) sur \((AC)\) parallèlement à \((AB)\). Quelle est sa position ?

Soit \(ABC\) un triangle. On considère \(M\in[AB]\) tel que \(AM=\dfrac{1}{4}AB\), et la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\) coupe \((AC)\) en \(N\).

1. Faire une figure.

2. En appliquant le théorème de Thalès, exprimer \(\dfrac{AN}{AC}\) et \(\dfrac{MN}{BC}\).

3. Si \(BC=12\) cm, calculer \(MN\).

Sur la figure ci-dessous, les droites \((D_{1})\), \((D_{2})\), \((D_{3})\) sont parallèles. Elles coupent deux droites sécantes en \(A,B,C\) et \(A',B',C'\) respectivement.
On donne \(AB=3\), \(BC=6\) et \(A'B'=4\). Calculer \(B'C'\), puis \(A'C'\).

Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\) avec \(AM=2\) cm, \(MB=4\) cm, \(AN=3\) cm, \(NC=6\) cm.

1. Calculer \(\dfrac{AM}{AB}\) et \(\dfrac{AN}{AC}\).

2. En déduire que \((MN)\parallel(BC)\) (réciproque du théorème de Thalès).

Théorème des milieux.
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(I\) et \(J\) les milieux respectifs de \([AB]\) et \([AC]\).

1. Montrer que \((IJ)\parallel(BC)\).

2. Montrer que \(IJ=\dfrac{1}{2}BC\).

3. Application : dans un triangle \(ABC\), on a \(BC=10\) cm. Calculer \(IJ\).

Théorème de Varignon.
Soit \(ABCD\) un quadrilatère quelconque. Soient \(P\), \(Q\), \(R\), \(S\) les milieux respectifs des côtés \([AB]\), \([BC]\), \([CD]\), \([DA]\).

1. Dans le triangle \(ABC\), comparer \(\overrightarrow{PQ}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

2. Dans le triangle \(ACD\), comparer \(\overrightarrow{SR}\) et \(\overrightarrow{AC}\).

3. En déduire que \(\overrightarrow{PQ}=\overrightarrow{SR}\). Conclusion sur \(PQRS\) ?

Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en \(O\). On note \(p\) la projection sur \((D)\)
parallèlement à \((\Delta)\). Soient \(A\) et \(B\) deux points du plan, \(A'\) et \(B'\) leurs projetés.

1. Soit \(I\) le milieu de \([AB]\). Montrer que \(p(I)\) est le milieu de \([A'B']\).

2. Soit \(G\) le centre de gravité du triangle \(OAB\). Montrer que \(p(G)\) est le centre de
   gravité du triangle \(OA'B'\).

3. Que deviennent \(A'\), \(B'\) et \(p(G)\) lorsque \(A\) et \(B\) appartiennent tous deux à \((\Delta)\) ?

Soit \(ABC\) un triangle rectangle en \(A\) tel que \(AB=6\) cm et \(AC=8\) cm.
On note \(H\) le projeté orthogonal de \(A\) sur la droite \((BC)\).

1. Calculer \(BC\).

2. En exprimant l’aire du triangle \(ABC\) de deux façons, calculer \(AH\).

3. En déduire \(BH\), puis \(CH\).