Série d’exercices

Comparer les deux nombres suivants :

1. \(\sqrt{5}+1\) et \(3\)

2. \(\sqrt{7}+\sqrt{5}\) et \(\sqrt{12}\)

3. \(\dfrac{1}{\sqrt{2}}\) et \(\dfrac{\sqrt{2}}{3}\)

4. \(\sqrt{3}+\sqrt{2}\) et \(2\sqrt{2}\)

Soient \(a\) et \(b\) deux réels tels que \(a\geq b\).

1. Montrer que \(\dfrac{a+b}{2}\geq b\).

2. Montrer que \(a^{2}+b^{2}\geq 2ab\).

3. On suppose de plus \(a\geq 0\) et \(b\geq 0\). En déduire que \(\sqrt{ab}\leq\dfrac{a+b}{2}\).

Soient \(x\in[1\,;3]\) et \(y\in[-2\,;0]\). Encadrer :
\[\begin{gathered} A=x+y,\quad B=x-y,\quad C=xy,\\ D=2x-3y,\quad E=x^{2}+y^{2}. \end{gathered}\]

Calculer la valeur absolue de chacun des nombres suivants :
\[|3-7|,\quad |\sqrt{5}-2|,\quad |\pi-3|,\quad |1-\sqrt{2}|,\quad |2-\sqrt{5}|.\]

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :

1. \(|x-3|=5\)

2. \(|2x+1|=4\)

3. \(|x+2|=|3x-4|\)

4. \(|x-1|=-2\)

Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les inéquations suivantes :

1. \(|x-1|<3\)

2. \(|2x+3|\geq 5\)

3. \(|x|+|x-2|\leq 4\)

4. \(|x+1|\leq 2|x-3|\)

Sachant que \(1{,}414\leq\sqrt{2}\leq 1{,}415\) et \(1{,}732\leq\sqrt{3}\leq 1{,}733\) :

1. Donner un encadrement de \(\sqrt{2}+\sqrt{3}\).

2. Donner un encadrement de \(\sqrt{2}\times\sqrt{3}=\sqrt{6}\).

3. En déduire un encadrement de \(\dfrac{\sqrt{2}+\sqrt{3}}{\sqrt{6}}\).

Calculer la partie entière de chacun des nombres suivants :
\[E(7{,}3),\quad E(-2{,}1),\quad E(\sqrt{5}),\quad E(-\pi),\quad E\!\left(\dfrac{17}{3}\right).\]

Soit \(a\in\mathbb{R}^{*}_{+}\). Montrer que \(a+\dfrac{1}{a}\geq 2\).
(Indication : étudier le signe de \(\left(\sqrt{a}-\dfrac{1}{\sqrt{a}}\right)^{2}\).)

Soient \(a,b\in\mathbb{R}\). Montrer l’inégalité triangulaire : \(|a+b|\leq |a|+|b|\).
(Indication : élever au carré et utiliser \(|a||b|\geq ab\).)