Projection dans le plan
Table des matières
@chap@autonum
@chap@nonewpage
= [text=@chap@color,rectangle,left]
= [right color=@chap@color, left color=white,thick]
= [@chap@color,left,scale=0.5]
= [text=@chap@color,rectangle,right]
= [left color=@chap@color, right color=white,thick]
= [@chap@color,right,scale=0.5]
Projection d’un point sur une droite
Définition
Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes du plan.
Pour tout point \(M\) du plan, on appelle projeté de \(M\) sur la droite \((D)\) parallèlement à la droite \((\Delta)\) l’unique point \(M'\) de \((D)\) tel que :
\[(MM')\parallel(\Delta) \quad\text{ou}\quad M=M'.\]
On dit que \(M'\) est l’image de \(M\) par la projection sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
Remarque
-
Si \((D)\) et \((\Delta)\) sont parallèles, la projection n’est pas définie.
-
Si \(M\in(D)\), alors \(M'=M\).
-
Lorsque \((\Delta)\perp(D)\), on parle de projection orthogonale de \(M\) sur \((D)\).
Exemple
Soit \(ABCD\) un parallélogramme. Projeter \(A\), \(B\), \(C\) et \(D\) sur \((AB)\) parallèlement à \((AD)\).
Exercice n°1
Soient \((D)\) et \((\Delta)\) deux droites sécantes en \(O\), et \(M\) un point n’appartenant ni à \((D)\) ni à \((\Delta)\).
-
Construire le projeté \(M'\) de \(M\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\).
-
Construire le projeté \(M''\) de \(M\) sur \((\Delta)\) parallèlement à \((D)\).
-
Quelle est la nature du quadrilatère \(OM'MM''\) ?
Propriétés de la projection
Propriété
Conservation de l’alignement.
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont trois points alignés et \(A'\), \(B'\), \(C'\) leurs projetés respectifs sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\), alors \(A'\), \(B'\), \(C'\) sont alignés sur \((D)\).
Propriété
Conservation du milieu.
Si \(I\) est le milieu de \([AB]\) et si \(A'\), \(B'\), \(I'\) sont les projetés respectifs de \(A\), \(B\), \(I\) sur \((D)\) parallèlement à \((\Delta)\), alors \(I'\) est le milieu de \([A'B']\).
Propriété
Conservation des rapports sur une droite.
Si \(A\), \(B\), \(C\) sont alignés et si leurs projetés \(A'\), \(B'\), \(C'\) sont distincts, alors
\(\frac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}=\frac{\overline{AB}}{\overline{AC}}\).
La projection conserve donc les coefficients de partage. En particulier, si
\(\overrightarrow{AB}=k\overrightarrow{AC}\) sur une droite, alors
\(\overrightarrow{A'B'}=k\overrightarrow{A'C'}\) sur l’axe \((D)\) de projection.
Cette propriété conduit au théorème de Thalès.
Remarque
Attention : la projection ne conserve pas en général :
-
les distances (sauf cas particulier),
-
les angles (sauf cas particulier).
Exemple
Des points alignés \(A\), \(B\), \(C\) ont pour projetés \(A'\), \(B'\), \(C'\). Si \(B\) est le milieu de \([AC]\), déterminer la position de \(B'\).
Exercice n°2
Soit \(ABC\) un triangle et \(I\) le milieu de \([BC]\). On projette sur la droite \((AB)\) parallèlement à la droite \((AC)\).
-
Donner les projetés des points \(A\), \(B\) et \(C\).
-
En déduire le projeté du point \(I\).
Théorème de Thalès (forme vectorielle)
Énoncé vectoriel
Théorème
Théorème de Thalès.
Soient \((D_{1})\), \((D_{2})\), \((D_{3})\) trois droites parallèles et distinctes, coupant deux droites sécantes \((\Delta)\) et \((\Delta')\) respectivement en \(A,B,C\) et \(A',B',C'\).
Alors :
\[\dfrac{\overline{AB}}{\overline{AC}}=\dfrac{\overline{A'B'}}{\overline{A'C'}}.\]
(Égalité de mesures algébriques.)
Énoncé classique dans un triangle
Théorème
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(M\in(AB)\) et \(N\in(AC)\) tels que \((MN)\parallel(BC)\). Alors :
\[\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}=\dfrac{MN}{BC}, \quad\text{et vectoriellement :}\quad \overrightarrow{AM}=k\,\overrightarrow{AB},\ \overrightarrow{AN}=k\,\overrightarrow{AC},\ \overrightarrow{MN}=k\,\overrightarrow{BC},\]
où \(k\) est un nombre réel commun.
Théorème
Réciproque du théorème de Thalès.
Soit \(ABC\) un triangle, \(M\in(AB)\), \(N\in(AC)\).
Si \(\dfrac{AM}{AB}=\dfrac{AN}{AC}\) (et \(M,N\) du même côté de \(A\)), alors \((MN)\parallel(BC)\).
Exemple
Dans un triangle \(ABC\), \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\) vérifient
\(AM=\frac13AB\) et \(AN=\frac13AC\). Montrer que \((MN)\parallel(BC)\) puis exprimer \(MN\) en fonction de \(BC\).
Exercice n°3
Soit \(ABC\) un triangle. Soit \(M\) le point de \([AB]\) tel que \(AM=\dfrac{1}{3}AB\),
et soit \(N\) le point d’intersection de \((AC)\) avec la parallèle à \((BC)\) passant par \(M\).
-
Que vaut le rapport \(\dfrac{AN}{AC}\) ?
-
On donne \(AC=9\ \text{cm}\). Calculer \(AN\), puis \(NC\).
-
On donne \(BC=12\ \text{cm}\). Calculer \(MN\).
Application : milieu et partage d’un segment
Propriété
Théorème des milieux.
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(I\) le milieu de \([AB]\) et \(J\) le milieu de \([AC]\). Alors :
\[(IJ)\parallel(BC) \quad\text{et}\quad IJ=\dfrac{1}{2}BC.\]
Propriété
Théorème réciproque.
Soit \(ABC\) un triangle. Si \(I\) est le milieu de \([AB]\) et si la parallèle à \((BC)\) passant par \(I\) coupe \((AC)\) en \(J\), alors \(J\) est le milieu de \([AC]\).
Exemple
Dans un quadrilatère \(ABCD\), les points \(P,Q,R,S\) sont les milieux respectifs de \([AB],[BC],[CD],[DA]\). Montrer que \(PQRS\) est un parallélogramme.
Exercice n°4
Soit \(ABC\) un triangle, et soient \(M\in[AB]\) et \(N\in[AC]\) tels que \(\overrightarrow{AM}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AN}=\dfrac{2}{5}\overrightarrow{AC}\).
-
Montrer que \((MN)\parallel(BC)\).
-
Déterminer \(MN\) en fonction de \(BC\).
Exercice n°5
Sur la figure ci-dessous, \((D_{1})\parallel(D_{2})\parallel(D_{3})\). On donne \(AB=4\), \(BC=6\) et \(A'B'=2\).
Calculer \(B'C'\), puis \(A'C'\).
Exercice n°6
Soit \(ABC\) un triangle et \(G\) son centre de gravité. Soit \(A'\) le milieu de \([BC]\).
-
Justifier que \(A\), \(G\), \(A'\) sont alignés.
-
Montrer que \(\dfrac{AG}{AA'}=\dfrac{2}{3}\).
-
La parallèle à \((BC)\) passant par \(G\) coupe \([AB]\) en \(M\) et \([AC]\) en \(N\).
Montrer que \(MN=\dfrac{2}{3}BC\).