Cours 2ème Bac S.Exp

Fonctions primitives

6 min de lecture · Fonctions primitives

Table des matières

Notion de primitive
1. Définition
2. Existence des primitives
Ensemble des primitives
Primitives des fonctions usuelles
Primitives par formules de composition

Notion de primitive

Activité

Soient \(f\) et \(F\) deux fonctions définies sur \(\mathbb{R}\) par
\[f(x) = 5x^3 - 3x + 2 \quad \text{et} \quad F(x) = \dfrac{5}{4}x^4 - \dfrac{3}{2}x^2 + 2x.\]

Vérifier que \(F\) est dérivable sur \(\mathbb{R}\) et que \(F'(x) = f(x)\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\).
Soit \(G(x) = F(x) - 4\). Montrer que \(G\) est aussi une « primitive » de \(f\).
Que peut-on dire de \(F\) et \(G\) ?

Définition

Soient \(f\) et \(F\) deux fonctions définies sur un intervalle \(I\) de \(\mathbb{R}\). On dit que \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\) si :

\(F\) est dérivable sur \(I\).
Pour tout \(x \in I\),\(F'(x) = f(x)\).

Exemple

Montrer que \(F : x \mapsto 2\sqrt{x} + 7\) est une primitive de \(f : x \mapsto \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) sur \(]0;+\infty[\).

Application

Vérifier que \(F : x \mapsto x^2 + 2x + 3\) est une primitive de \(f : x \mapsto 2x + 2\) sur \(\mathbb{R}\).
Vérifier que \(F : x \mapsto 5x + 4\) est une primitive de \(f : x \mapsto 5\) sur \(\mathbb{R}\).

Existence des primitives

Proposition

Toute fonction continue sur un intervalle \(I\) admet une primitive sur \(I\).

Exemple

Montrer que la fonction \(f : x \mapsto x\sqrt{x+1} + \cos x\) admet une primitive sur \(I = [-1\,;+\infty[\).

Application

Justifier que les fonctions suivantes admettent une primitive sur l’intervalle indiqué :

\(f(x) = \sin x + x^2\) sur \(\mathbb{R}\).
\(g(x) = \dfrac{1}{x}\) sur \(]0;+\infty[\).
\(h(x) = \sqrt{x-3}\) sur \([3;+\infty[\).
\(k(x) = \dfrac{x}{x^2+1}\) sur \(\mathbb{R}\).

À faire à la maison

Soit \(f\) continue sur \(\mathbb{R}\) telle que \(f(0) = 1\) et \(F\) une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) vérifiant \(F(0) = 2\). On pose \(G(x) = F(\sin x)\). Calculer \(G(0)\) et \(G'(0)\).
Soit \(f(x) = \dfrac{x^2 + 2x + 1}{x^2 + 1}\) sur \(\mathbb{R}\). Vérifier que \(f(x) = 1 + \dfrac{2x}{x^2+1}\) et utiliser ce résultat pour justifier que \(f\) admet une primitive sur \(\mathbb{R}\) (vue en chapitre suivant : ne pas calculer cette primitive).
Déterminer les réels \(a\) et \(b\) pour que la fonction \(F(x) = (a x + b) \cos x - a \sin x\) soit une primitive de \(f(x) = -x \sin x\) sur \(\mathbb{R}\).

Ensemble des primitives

Proposition

Soit \(F\) une primitive d’une fonction \(f\) sur un intervalle \(I\).

L’ensemble des primitives de \(f\) sur \(I\) est l’ensemble des fonctions \(x \mapsto F(x) + c\), où \(c \in \mathbb{R}\).
Pour tout \(x_0 \in I\) et tout \(y_0 \in \mathbb{R}\), il existe une unique primitive \(G\) de \(f\) sur \(I\) vérifiant \(G(x_0) = y_0\).

Remarque

La constante \(c \in \mathbb{R}\), appelée constante d’intégration, ne doit jamais être oubliée. Sans condition initiale, une fonction admet une infinité de primitives.

Exemple

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = 4x^3 - 5x^2 + 8x - 7\). Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) telle que \(F(1) = 0\).

Application

Déterminer toutes les primitives sur \(\mathbb{R}\) de \(f(x) = x^4 - 3x^3 + 5\).
Déterminer la primitive \(F\) de \(f(x) = 6x^2 + 2x + 1\) sur \(\mathbb{R}\) telle que \(F(0) = 3\).

À faire à la maison

Soit \(f(x) = 3(x-1)(x-3)\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminer toutes les primitives de \(f\), puis trouver celle qui s’annule en \(x = 1\).
Soit \(f(x) = \dfrac{1}{(x+2)^2}\) sur \(]-2\,;+\infty[\). Déterminer la primitive \(F\) telle que \(F(0) = 5\).
Soit \(f\) une fonction continue sur \([a;b]\) et \(F, G\) deux primitives de \(f\) sur \([a;b]\) telles que \(F(a) = 2\), \(F(b) = 7\) et \(G(a) = -1\). Calculer \(G(b)\).

Primitives des fonctions usuelles

Proposition

Le tableau ci-dessous donne, pour chaque fonction \(f\), une primitive \(F\). Toutes les autres primitives s’obtiennent en ajoutant une constante \(c \in \mathbb{R}\).

Fonction \(f(x)\)	Primitive \(F(x)\)	Intervalle
\(a\)	\(ax\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^n\), \(n \in \mathbb{N}^*\)	\(\dfrac{x^{n+1}}{n+1}\)	\(\mathbb{R}\)
\(x^r\), \(r \in \mathbb{Q}^* \setminus \{-1\}\)	\(\dfrac{x^{r+1}}{r+1}\)	\(]0;+\infty[\)
\(\dfrac{1}{x^2}\)	\(-\dfrac{1}{x}\)	\(]-\infty;0[\) ou \(]0;+\infty[\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{x}}\)	\(2\sqrt{x}\)	\(]0;+\infty[\)
\(\cos x\)	\(\sin x\)	\(\mathbb{R}\)
\(\sin x\)	\(-\cos x\)	\(\mathbb{R}\)
\(1 + \tan^2 x\)	\(\tan x\)	\(\left]-\dfrac{\pi}{2}+k\pi\,;\dfrac{\pi}{2}+k\pi\right[\)
\(\cos(ax+b)\), \(a \neq 0\)	\(\dfrac{1}{a}\sin(ax+b)\)	\(\mathbb{R}\)
\(\sin(ax+b)\), \(a \neq 0\)	\(-\dfrac{1}{a}\cos(ax+b)\)	\(\mathbb{R}\)

Exemple

Déterminer une primitive de \(f(x) = 3x^2 - \dfrac{1}{x^2} + \cos x\) sur \(]0;+\infty[\).

Application

Déterminer une primitive de chacune des fonctions suivantes sur un intervalle approprié :

\(f_1(x) = 2x^5 - 3x^2 - 1\)
\(f_2(x) = \sqrt{x}\)
\(f_3(x) = \cos(3x - 1)\)
\(f_4(x) = \sin(5 - 2x)\)
\(f_5(x) = \dfrac{1}{\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x^2}\)
\(f_6(x) = 1 + \tan^2 x\)

À faire à la maison

Déterminer une primitive de chaque fonction sur un intervalle approprié :

\(g_1(x) = \cos(2x) - \sin(3x + \pi/4)\)
\(g_2(x) = \sin^2(x)\) (linéariser via \(\cos(2x)\))
\(g_3(x) = \cos^2(x)\) (linéariser via \(\cos(2x)\))
\(g_4(x) = (3x - 1)^4 + (2x + 5)^7\)

Primitives par formules de composition

Proposition

Soient \(u\) et \(v\) deux fonctions dérivables sur un intervalle \(I\), \(r \in \mathbb{Q}^* \setminus \{-1\}\). Sur tout intervalle où les expressions ont un sens :

\(u' \cdot u^r\) admet pour primitive \(\dfrac{u^{r+1}}{r+1}\).
\(\dfrac{u'}{\sqrt{u}}\) admet pour primitive \(2\sqrt{u}\)(sur tout intervalle où \(u>0\)).
\(\dfrac{u'}{u^2}\) admet pour primitive \(-\dfrac{1}{u}\)(sur tout intervalle où \(u \neq 0\)).
\(u' \cdot v + u \cdot v'\) admet pour primitive \(u \cdot v\).
\(\dfrac{u' \cdot v - u \cdot v'}{v^2}\) admet pour primitive \(\dfrac{u}{v}\)(sur tout intervalle où \(v \neq 0\)).