Série d’exercices

1. Vérifier que \(F(x) = x\sin x + \cos x\) est une primitive de \(f(x) = x\cos x\) sur \(\mathbb{R}\).

2. Vérifier que \(F(x) = \dfrac{x}{x + 1}\) est une primitive de \(f(x) = \dfrac{1}{(x + 1)^2}\) sur \(]-1\,;+\infty[\).

3. Justifier que la fonction \(f(x) = \sqrt{x^2 + x + 1}\) admet une primitive sur \(\mathbb{R}\).

4. Justifier que la fonction \(f(x) = \dfrac{1}{x^2 + 1}\) admet une primitive sur \(\mathbb{R}\).

Déterminer une primitive de chaque fonction sur un intervalle approprié :

1. \(f_1(x) = 4x^3 - 6x + \dfrac{2}{x^3}\)

2. \(f_2(x) = \dfrac{1}{x^4} + \dfrac{2}{\sqrt[3]{x}} - \sqrt[4]{x^3}\)

3. \(f_3(x) = \sqrt{x}\,(x^2 + 2\sqrt{x})\)

4. \(f_4(x) = \sqrt{3x - 1}\)

5. \(f_5(x) = (2x + 3)^4\)

6. \(f_6(x) = \dfrac{1}{(2x - 5)^3}\)

Déterminer une primitive de chaque fonction sur \(\mathbb{R}\) :

1. \(f_1(x) = \cos(2x) - 3\sin(3x)\)

2. \(f_2(x) = \sin\!\left(\dfrac{x}{2}\right)\)

3. \(f_3(x) = 4\cos(2x + 1)\)

4. \(f_4(x) = \sin x \cos x\) (indication : linéariser)

5. \(f_5(x) = \sin^2(3x)\)

6. \(f_6(x) = \sin^3(x)\)

Déterminer une primitive de chaque fonction :

1. \(f_1(x) = (2x + 3)\,(x^2 + 3x - 1)^3\) sur \(\mathbb{R}\)

2. \(f_2(x) = \sin x \cdot \cos^4(x)\) sur \(\mathbb{R}\)

3. \(f_3(x) = \dfrac{x}{(x^2 + 1)^3}\) sur \(\mathbb{R}\)

4. \(f_4(x) = \dfrac{2x + 1}{\sqrt{x^2 + x + 1}}\) sur \(\mathbb{R}\)

5. \(f_5(x) = \dfrac{\sin x}{(1 + \cos x)^2}\) sur \(]-\pi\,;\pi[\)

6. \(f_6(x) = \dfrac{4x - 2}{(x^2 - x + 1)^2}\) sur \(\mathbb{R}\)

1. Soit \(f(x) = 3x^2 - 4x + 1\) sur \(\mathbb{R}\). Déterminer la primitive \(F\) de \(f\) vérifiant \(F(2) = 0\).

2. Soit \(g(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}} + \dfrac{1}{x^2}\) sur \(]0\,;+\infty[\). Déterminer toutes les primitives de \(g\), puis trouver celle qui s’annule en \(x = 1\).

3. Soit \(h(x) = \cos(2x) + \sin(x)\). Déterminer la primitive \(H\) telle que \(H(0) = 1\).

Soit \(f(x) = \dfrac{x^3 - 2x + 1}{x - 1}\) sur \(]1\,;+\infty[\).

1. Vérifier que pour tout \(x \neq 1\), \(x^3 - 2x + 1 = (x - 1)(x^2 + x - 1)\). En déduire une expression simplifiée de \(f(x)\).

2. En déduire toutes les primitives de \(f\) sur \(]1\,;+\infty[\).

3. Déterminer la primitive \(F\) qui vérifie \(F(2) = 0\).

Pour chaque fonction, réécrire sous une forme reconnaissable et déterminer une primitive :

1. \(f_1(x) = \dfrac{x + 1}{\sqrt{x}}\) sur \(]0\,;+\infty[\)

2. \(f_2(x) = \dfrac{(x + 1)^2}{x^4}\) sur \(]0\,;+\infty[\)

3. \(f_3(x) = \dfrac{x^2 - 1}{x^4}\) sur \(]0\,;+\infty[\)

4. \(f_4(x) = \cos(x) (1 + \sin x)\)

5. \(f_5(x) = \dfrac{1}{\cos^2 x}\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\)

6. \(f_6(x) = \tan^2 x\) sur \(\left]-\dfrac{\pi}{2}\,;\dfrac{\pi}{2}\right[\) (indication : \(\tan^2 x = (1 + \tan^2 x) - 1\))

Soit \(F(x) = (a x^2 + b x + c) \cos(x) + (d x^2 + e x + g) \sin(x)\).

1. Calculer \(F'(x)\).

2. Déterminer les réels \(a, b, c, d, e, g\) pour que \(F\) soit une primitive de \(f(x) = x^2 \cos(x)\) sur \(\mathbb{R}\).

3. En déduire une primitive de \(f\).

Pour chaque assertion, dire si elle est vraie ou fausse, en justifiant :

1. Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors \(G(x) = F(x) + 5\) est aussi une primitive de \(f\) sur \(I\).

2. Si \(f\) est continue sur \(\mathbb{R}^*\), alors \(f\) admet une primitive sur \(\mathbb{R}^*\).

3. Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(I\), alors \(F^2\) est une primitive de \(f^2\) sur \(I\).

4. Toute fonction polynomiale admet une primitive polynomiale.

5. Si \(F\) est une primitive de \(f\) sur \(\mathbb{R}\), alors \(F\) est aussi une primitive de \(f\) sur tout intervalle de \(\mathbb{R}\).

Soit \(f\) définie sur \(\mathbb{R}\) par \(f(x) = \dfrac{2x}{(x^2 + 1)^2}\).

1. Étudier les variations de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) et calculer ses limites en \(\pm \infty\).

2. Déterminer toutes les primitives de \(f\) sur \(\mathbb{R}\) (indication : forme \(\dfrac{u'}{u^2}\)).

3. Soit \(F\) la primitive de \(f\) telle que \(F(0) = 1\). Donner l’expression de \(F(x)\) et calculer \(\lim\limits_{x \to +\infty} F(x)\).