Dérivabilité et études de fonctions
Dérivabilité et études de fonctions
1ère Bac
2ème Bac
La dérivée
De la sécante à la tangente
Tout le chapitre tient dans une seule image : deux points sur une courbe, la droite qui les joint, puis le second point qui glisse vers le premier. Ce que la sécante devient à la limite, c'est la tangente, et son coefficient directeur est le nombre dérivé. Faites glisser \(h\) jusqu'à zéro pour le voir.
Définition
\[ f'(a) = \lim_{h \to 0} \frac{f(a+h) - f(a)}{h} \]
L'essentiel
- Taux d'accroissement
- \(\dfrac{f(a+h) - f(a)}{h}\)
- Tangente en \(a\)
- \(y = f'(a)(x - a) + f(a)\)
- Croissance
- \(f' > 0\) sur un intervalle \(\Rightarrow\) \(f\) croissante
- Extremum
- \(f'\) s'annule en changeant de signe
Ce qu'il faut retenir
- Le nombre dérivé est un coefficient directeur, donc une pente. Une pente positive monte, une pente négative descend, une pente nulle est horizontale.
- La tangente est la meilleure approximation affine de la courbe au voisinage du point. De près, la courbe et sa tangente deviennent indiscernables.
- Le tableau de signes de \(f'\) donne le tableau de variations de \(f\). C'est le passage obligé de toute étude de fonction.
- Une dérivée qui s'annule ne suffit pas : elle doit changer de signe pour qu'il y ait un extremum. Pensez à \(x \mapsto x^3\) en zéro.
Les pièges classiques
- Écrire \(f'(a)\) alors que la limite du taux d'accroissement n'existe pas. La fonction valeur absolue en zéro est le contre exemple classique.
- Oublier le \(+ f(a)\) dans l'équation de la tangente, ce qui donne une droite parallèle mais décalée.
- Confondre \(f'(a)\), qui est un nombre, avec \(f'\), qui est une fonction.
- Conclure à un maximum dès que la dérivée s'annule, sans étudier son signe de part et d'autre.
Le cours correspondant.
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