Série d’exercices
Les polynômes
Tronc Commun
1ère Bac
La parabole
Trinôme du second degré
La parabole est la première courbe du lycée qui se laisse entièrement lire dans ses coefficients. Le signe de \(a\) donne le sens, le discriminant donne le nombre de racines, la forme canonique donne le sommet. Déplacez les curseurs et observez ces trois lectures rester cohérentes en permanence.
Définition
\[ f(x) = ax^2 + bx + c \qquad (a \neq 0) \]
L'essentiel
- Discriminant
- \(\Delta = b^2 - 4ac\)
- Sommet
- \(S\left(-\dfrac{b}{2a}\,;\, f\left(-\dfrac{b}{2a}\right)\right)\)
- Forme canonique
- \(f(x) = a(x - \alpha)^2 + \beta\)
- Axe de symétrie
- \(x = -\dfrac{b}{2a}\)
- Racines si \(\Delta > 0\)
- \(x_{1,2} = \dfrac{-b \pm \sqrt{\Delta}}{2a}\)
Ce qu'il faut retenir
- Le signe de \(a\) décide de tout le reste : \(a > 0\) donne une parabole tournée vers le haut et un minimum, \(a < 0\) donne un maximum.
- Le discriminant compte les racines sans les calculer : deux si \(\Delta > 0\), une double si \(\Delta = 0\), aucune dans \(\mathbb{R}\) si \(\Delta < 0\).
- Entre les racines, le trinôme est du signe de \(-a\). À l'extérieur, il est du signe de \(a\). C'est la règle qui sert dans tous les tableaux de signes.
- La forme canonique n'est pas une astuce de calcul : elle lit directement le sommet et donc le tableau de variations.
Les pièges classiques
- Oublier la condition \(a \neq 0\). Si \(a = 0\) l'équation devient affine et le discriminant n'a plus de sens.
- Écrire \(\sqrt{\Delta}\) quand \(\Delta < 0\) au lieu de conclure qu'il n'y a pas de racine réelle.
- Confondre l'abscisse du sommet \(-\dfrac{b}{2a}\) avec \(\dfrac{b}{2a}\). Le signe moins tombe très souvent à l'examen.
- Donner le signe du trinôme sans avoir vérifié le signe de \(a\) au préalable.
Le cours correspondant.
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