Série d’exercices
Limite d'une fonction numérique
2ème Bac
Limites et asymptotes
Le comportement aux bords
Une asymptote n'est pas une barrière, c'est une trajectoire de fuite. Étudier une limite, c'est décrire ce que fait la courbe quand on la pousse vers un bord de son domaine. Les trois modes ci dessous montrent les trois situations que le programme de 2ème Bac demande de reconnaître.
Définition
\[ \lim_{x \to +\infty} f(x) = \ell \iff \text{la droite } y = \ell \text{ est asymptote horizontale} \]
L'essentiel
- Asymptote horizontale
- \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} f(x) = \ell\)
- Asymptote verticale
- \(\lim\limits_{x \to a} f(x) = \pm\infty\)
- Asymptote oblique
- \(\lim\limits_{x \to \pm\infty} \big(f(x) - (ax+b)\big) = 0\)
- Pente de l'oblique
- \(a = \lim\limits_{x \to \pm\infty} \dfrac{f(x)}{x}\)
Ce qu'il faut retenir
- Une asymptote verticale se lit sur le domaine de définition : cherchez les valeurs interdites, puis étudiez la limite à gauche et à droite séparément.
- Pour une asymptote oblique, on cherche d'abord la pente avec \(\dfrac{f(x)}{x}\), puis l'ordonnée à l'origine avec \(f(x) - ax\).
- La position de la courbe par rapport à l'asymptote se détermine par le signe de la différence \(f(x) - (ax+b)\).
- Une courbe a parfaitement le droit de couper son asymptote. L'asymptote décrit un comportement à l'infini, pas une interdiction.
Les pièges classiques
- Annoncer une asymptote verticale sans avoir vérifié que la limite est bien infinie. Une valeur interdite peut donner une limite finie.
- Calculer une limite à droite et l'appliquer à gauche. Les deux limites sont souvent de signes opposés.
- Oublier de conclure sur la position relative de la courbe et de l'asymptote, régulièrement demandée dans les examens nationaux.
- Utiliser une forme indéterminée comme si c'était un résultat. \(\infty - \infty\) et \(\dfrac{\infty}{\infty}\) exigent une transformation.
Le cours correspondant.
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