Série d’exercices
Géométrie analytique dans l'espace
1ère Bac
L'équation d'un cercle
Du centre et du rayon à l'équation
Un cercle est l'ensemble des points à distance fixe d'un centre. Traduite en coordonnées, cette phrase donne directement l'équation. La forme développée, elle, cache le centre et le rayon : il faut la remettre en forme canonique pour les retrouver.
Définition
\[ (x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2 \]
L'essentiel
- Centre
- \(\Omega(a\,;\,b)\)
- Rayon
- \(R > 0\)
- Forme développée
- \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) avec \(c = a^2 + b^2 - R^2\)
- Point du cercle
- \(M(a + R\cos\theta\,;\,b + R\sin\theta)\)
- Tangente
- Perpendiculaire au rayon au point de contact
Ce qu'il faut retenir
- L'équation n'est que la traduction de \(\Omega M = R\), c'est à dire du théorème de Pythagore appliqué au rayon.
- Pour passer de la forme développée à la forme canonique, on complète les carrés en \(x\) et en \(y\) séparément.
- Une équation de la forme \(x^2 + y^2 - 2ax - 2by + c = 0\) n'est un cercle que si \(a^2 + b^2 - c > 0\). Sinon c'est un point, ou l'ensemble vide.
- La tangente en un point du cercle est perpendiculaire au rayon qui y aboutit. C'est le moyen le plus rapide d'en trouver l'équation.
Les pièges classiques
- Lire le centre directement dans \((x - a)^2 + (y - b)^2 = R^2\) en oubliant les signes : le centre est \((a\,;\,b)\), pas \((-a\,;\,-b)\).
- Confondre \(R\) et \(R^2\). Le second membre de l'équation canonique est le carré du rayon.
- Affirmer qu'une équation du second degré en \(x\) et \(y\) est toujours un cercle, sans vérifier que le rayon obtenu est réel.
- Chercher la tangente en dérivant, alors que la perpendicularité au rayon donne la réponse en une ligne.
Le cours correspondant.
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