Série d’exercices
Géométrie analytique dans l'espace
Tronc Commun
L'équation d'une droite
Coefficient directeur et ordonnée à l'origine
Une droite non verticale est entièrement décrite par deux nombres : sa pente et sa hauteur à l'origine. Le premier l'incline, le second la translate. Une fois cette séparation vue, parallélisme et perpendicularité se lisent d'un coup d'oeil sur les coefficients.
Définition
\[ y = mx + p \qquad \text{ou} \qquad ax + by + c = 0 \]
L'essentiel
- Coefficient directeur
- \(m = \dfrac{y_B - y_A}{x_B - x_A}\)
- Ordonnée à l'origine
- La droite coupe \((Oy)\) en \((0\,;\,p)\)
- Vecteur directeur
- \(\vec{u}(1\,;\,m)\)
- Parallèles
- \(m = m'\)
- Perpendiculaires
- \(m \times m' = -1\)
Ce qu'il faut retenir
- Le coefficient directeur est un déplacement : quand on avance de \(1\), on monte de \(m\). C'est ce que montre le triangle de la figure.
- Une droite verticale n'a pas de coefficient directeur : son équation est \(x = k\), et elle ne s'écrit pas sous la forme \(y = mx + p\).
- La forme cartésienne \(ax + by + c = 0\) décrit toutes les droites, verticales comprises. C'est elle qu'il faut utiliser quand on ne veut exclure aucun cas.
- Deux droites perpendiculaires ont des pentes de signes contraires, et leur produit vaut exactement \(-1\).
Les pièges classiques
- Calculer \(m\) avec les différences dans le mauvais ordre. Le numérateur et le dénominateur doivent aller de \(A\) vers \(B\) tous les deux.
- Chercher un coefficient directeur pour une droite verticale, où il n'existe pas.
- Conclure au parallélisme parce que les ordonnées à l'origine sont égales. C'est la pente qui décide.
- Confondre \(m \times m' = -1\) et \(m = -m'\). La seconde égalité ne donne pas des droites perpendiculaires.
Le cours correspondant.
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