Série d’exercices
Analytique du produit scalaire et applications
Tronc Commun
1ère Bac
Le théorème de la médiane
Une identité qui remplace un calcul
Dans un triangle, la somme des carrés de deux côtés se calcule à partir de la médiane issue du troisième sommet. L'intérêt est pratique : elle transforme deux longueurs inconnues en une seule. Déplacez le sommet \(A\) et vérifiez que l'égalité tient à chaque position.
Définition
\[ AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \dfrac{BC^2}{2} \qquad \text{où } I \text{ est le milieu de } [BC] \]
L'essentiel
- Médiane
- \([AI]\) avec \(I\) milieu de \([BC]\)
- Identité
- \(AB^2 + AC^2 = 2AI^2 + \dfrac{BC^2}{2}\)
- Forme vectorielle
- \(\overrightarrow{AB} + \overrightarrow{AC} = 2\overrightarrow{AI}\)
- Différence
- \(AB^2 - AC^2 = 2\,\overrightarrow{IA} \cdot \overrightarrow{CB}\)
- Cas isocèle
- Si \(AB = AC\), la médiane est aussi hauteur et bissectrice
Ce qu'il faut retenir
- La démonstration tient en une ligne avec le produit scalaire, en écrivant \(\overrightarrow{AB}\) et \(\overrightarrow{AC}\) à partir de \(\overrightarrow{AI}\) et \(\overrightarrow{IB}\).
- Le théorème sert surtout à trouver une longueur de médiane à partir des trois côtés, ou l'inverse.
- Il vaut pour n'importe quel triangle, y compris aplati. Aucune hypothèse de forme n'est nécessaire.
- Combiné à la relation sur la différence des carrés, il donne l'ensemble des points vérifiant une condition du type \(MA^2 + MB^2 = k\), qui est un cercle.
Les pièges classiques
- Oublier le facteur \(2\) devant \(AI^2\), ou diviser \(BC^2\) par \(4\) au lieu de \(2\).
- Appliquer le théorème avec une médiane issue d'un autre sommet sans changer le côté correspondant.
- Confondre médiane, hauteur et médiatrice. Elles ne coïncident que dans le cas isocèle.
- Utiliser des longueurs au lieu de leurs carrés. L'identité porte sur les carrés, elle est fausse pour les longueurs.
Le cours correspondant.
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