Série d’exercices
Fonctions exponentielles
2ème Bac
La fonction exponentielle
Sa propre dérivée
L'exponentielle est définie par une propriété et non par une formule : elle est égale à sa dérivée et vaut \(1\) en zéro. Toutes ses autres propriétés en découlent. Faites glisser le point de contact et vérifiez qu'en chaque abscisse la pente de la tangente est bien la hauteur de la courbe.
Définition
\[ \exp' = \exp, \qquad \exp(0) = 1, \qquad \exp(x) = e^x \]
L'essentiel
- Équation fonctionnelle
- \(e^{a+b} = e^a \times e^b\)
- Signe
- \(e^x > 0\) pour tout \(x \in \mathbb{R}\)
- Limites
- \(\lim\limits_{x \to -\infty} e^x = 0\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} e^x = +\infty\)
- Croissance comparée
- \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{e^x}{x^n} = +\infty\)
- Tangente en \(0\)
- \(y = x + 1\)
Ce qu'il faut retenir
- L'exponentielle est strictement positive partout. L'axe des abscisses est une asymptote horizontale en moins l'infini, jamais atteinte.
- La propriété \(e^{a+b} = e^a e^b\) transforme les sommes en produits. Le logarithme fait le chemin inverse.
- En croissance comparée, l'exponentielle gagne toujours contre n'importe quelle puissance de \(x\).
- La tangente en zéro a pour équation \(y = x+1\), ce qui donne l'inégalité utile \(e^x \geqslant x+1\) sur tout \(\mathbb{R}\).
Les pièges classiques
- Écrire \(e^{a+b} = e^a + e^b\). L'exponentielle transforme la somme en produit, jamais en somme.
- Simplifier \(e^{-x}\) en \(-e^x\). La bonne écriture est \(\dfrac{1}{e^x}\), et elle reste positive.
- Traiter \(\dfrac{e^x}{x}\) en l'infini comme une forme indéterminée sans citer la croissance comparée.
- Résoudre \(e^x = k\) sans vérifier que \(k > 0\). Pour \(k \leqslant 0\) il n'y a pas de solution.
Le cours correspondant.
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