Série d’exercices
Analytique du produit scalaire et applications
2ème Bac
L'intégrale
Une aire qui devient une primitive
L'intégrale se définit comme une aire et se calcule avec une primitive. Ces deux visages sont le sujet de tout le chapitre. Augmentez le nombre de rectangles pour voir l'aire approchée converger, puis passez au mode primitive pour voir la même quantité devenir une fonction de sa borne supérieure.
Définition
\[ \int_a^b f(x)\,dx = F(b) - F(a) \qquad \text{où } F' = f \]
L'essentiel
- Relation de Chasles
- \(\int_a^b f = \int_a^c f + \int_c^b f\)
- Linéarité
- \(\int_a^b (\lambda f + g) = \lambda\int_a^b f + \int_a^b g\)
- Valeur moyenne
- \(\mu = \dfrac{1}{b-a}\int_a^b f(x)\,dx\)
- Primitive
- \(x \mapsto \int_a^x f(t)\,dt\) est la primitive de \(f\) nulle en \(a\)
Ce qu'il faut retenir
- Sur un intervalle où \(f\) est positive, l'intégrale est exactement l'aire entre la courbe et l'axe des abscisses, en unités d'aire.
- Si \(f\) change de signe, l'intégrale compte négativement ce qui est sous l'axe. Une intégrale nulle ne signifie pas une aire nulle.
- Toutes les primitives d'une même fonction diffèrent d'une constante, et cette constante disparaît dans la différence \(F(b) - F(a)\).
- La valeur moyenne est la hauteur du rectangle de même base et de même aire que la région sous la courbe.
Les pièges classiques
- Confondre aire et intégrale quand la fonction change de signe. Pour une aire, il faut découper selon le signe et prendre les valeurs absolues.
- Inverser les bornes sans changer le signe. \(\int_b^a f = -\int_a^b f\).
- Ajouter la constante d'intégration dans un calcul d'intégrale définie, où elle n'a rien à faire.
- Intégrer un produit en intégrant chaque facteur séparément. L'intégrale n'est pas multiplicative.
Le cours correspondant.
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