Série d’exercices
Fonctions logarithmes
2ème Bac
Le logarithme népérien
Le miroir de l'exponentielle
Le logarithme népérien est la fonction réciproque de l'exponentielle : son graphe est le symétrique de celui de \(\exp\) par rapport à la première bissectrice. Activez le mode symétrie pour voir les deux courbes se répondre point par point.
Définition
\[ \ln(x) = y \iff e^{y} = x \qquad (x > 0) \]
L'essentiel
- Domaine
- \(]0\,;\,+\infty[\)
- Dérivée
- \(\ln'(x) = \dfrac{1}{x}\)
- Propriété
- \(\ln(ab) = \ln a + \ln b\)
- Limites
- \(\lim\limits_{x \to 0^+} \ln x = -\infty\), \(\lim\limits_{x \to +\infty} \ln x = +\infty\)
- Croissance comparée
- \(\lim\limits_{x \to +\infty} \dfrac{\ln x}{x} = 0\)
Ce qu'il faut retenir
- Le logarithme n'existe que pour les réels strictement positifs. Toute résolution commence par la condition d'existence.
- Il transforme les produits en sommes, les quotients en différences et les puissances en produits.
- L'axe des ordonnées est asymptote verticale en zéro, mais la croissance vers plus l'infini est très lente.
- La courbe passe par \((1\,;\,0)\) et par \((e\,;\,1)\). Ces deux points suffisent souvent à placer l'allure.
Les pièges classiques
- Écrire \(\ln(a+b) = \ln a + \ln b\). La propriété concerne le produit, pas la somme.
- Oublier la condition d'existence avant de résoudre. Une solution trouvée hors du domaine doit être rejetée.
- Simplifier \(\dfrac{\ln a}{\ln b}\) en \(\ln\dfrac{a}{b}\). Ces deux écritures n'ont aucun rapport.
- Croire que le logarithme finit par plafonner. Il tend bien vers plus l'infini, seulement très lentement.
Le cours correspondant.
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