Tronc Commun
6 sections
Calcul trigonométrique
Le chapitre entier tient dans une seule figure : un cercle de rayon \(1\) sur lequel on enroule la droite des réels. Tout le reste, le radian, le cosinus, le sinus, la tangente, les angles associés et les équations, se lit sur cette figure. Chaque illustration de cette page est vivante : déplacez les curseurs et regardez la propriété se vérifier.
1 Le cercle trigonométrique
Définition
Dans un repère orthonormé \((O\,;\vec{i},\vec{j})\), le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\) et de rayon \(1\), orienté dans le sens direct (sens contraire des aiguilles d'une montre).
Faites tourner le point \(M\). Le sens direct est le sens dans lequel les angles se comptent positivement.
2 Mesure d'un angle en radians
Définition
Sur le cercle trigonométrique, on enroule la droite réelle. À chaque nombre réel \(x \in \mathbb{R}\), on associe un unique point \(M\) du cercle tel que la longueur de l'arc \(\widehat{IM}\) (compté dans le sens direct) soit \(|x|\), avec \(x > 0\) correspondant au sens direct et \(x < 0\) au sens indirect.
\(x\) est appelé mesure en radians de l'angle \(\widehat{(\vec{OI},\vec{OM})}\).
La partie déjà enroulée est en ambre sur le cercle, la partie qui reste droite part de \(M\) en restant tangente. Les deux ont exactement la même longueur : c'est ce qui définit le radian.
Proposition
Conversion degrés \(\leftrightarrow\) radians. Un angle de \(180^{\circ}\) correspond à un angle de \(\pi\) radians. La relation de conversion est :
\[ \dfrac{\alpha\ (\text{en radians})}{\pi} = \dfrac{\alpha\ (\text{en degrés})}{180}. \]Un seul angle, deux façons de le mesurer. Cherchez les valeurs usuelles : \(30^{\circ}\), \(45^{\circ}\), \(60^{\circ}\), \(90^{\circ}\).
Exemple
Quelques conversions usuelles :
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|c|c|c|} \hline \text{degrés} & 0 & 30 & 45 & 60 & 90 & 180 & 270 & 360 \ \hline \text{radians} & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} & \pi & \dfrac{3\pi}{2} & 2\pi \ \hline \end{array} \]Exercice
Convertir en radians : \(15^{\circ}\), \(120^{\circ}\), \(225^{\circ}\), \(-150^{\circ}\).
Convertir en degrés : \(\dfrac{\pi}{5}\), \(\dfrac{2\pi}{3}\), \(\dfrac{5\pi}{4}\), \(-\dfrac{\pi}{6}\).
3 Cosinus et sinus d'un nombre réel
Définition
Soit \(x \in \mathbb{R}\), et soit \(M\) le point du cercle trigonométrique associé à \(x\). Les coordonnées de \(M\) dans le repère \((O\,;\vec{i},\vec{j})\) sont notées \((\cos x\,;\sin x)\) :
- \(\cos x\) est l'abscisse de \(M\) ;
- \(\sin x\) est l'ordonnée de \(M\).
Aucune formule à retenir ici : ce sont deux coordonnées. Observez leurs signes changer de quadrant en quadrant.
Proposition
Pour tout réel \(x\) :
- \(-1 \leqslant \cos x \leqslant 1\) et \(-1 \leqslant \sin x \leqslant 1\) ;
- \(\cos^{2}x + \sin^{2}x = 1\) ;
- \(\cos(x + 2\pi) = \cos x\) et \(\sin(x + 2\pi) = \sin x\) : les fonctions \(\cos\) et \(\sin\) sont périodiques de période \(2\pi\).
Ajoutez des tours avec \(k\). Le point d'arrivée ne bouge pas, donc le cosinus et le sinus non plus. C'est toute la périodicité.
Valeurs remarquables
Proposition
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \ \hline \cos x & 1 & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{1}{2} & 0 \ \hline \sin x & 0 & \dfrac{1}{2} & \dfrac{\sqrt{2}}{2} & \dfrac{\sqrt{3}}{2} & 1 \ \hline \end{array} \]Le tableau se lit mieux comme une position. Parcourez les seize angles remarquables et regardez les valeurs exactes s'afficher.
4 La fonction tangente
Définition
Soit \(x \in \mathbb{R}\) tel que \(\cos x \neq 0\), c'est à dire \(x \neq \dfrac{\pi}{2} + k\pi\) avec \(k \in \mathbb{Z}\). La tangente de \(x\), notée \(\tan x\), est définie par :
\[ \tan x = \dfrac{\sin x}{\cos x}. \]La tangente se lit sur la droite verticale d'abscisse \(1\). Amenez \(x\) vers \(\dfrac{\pi}{2}\) et regardez le point de lecture partir à l'infini.
Proposition
- \(\tan(x + \pi) = \tan x\) : la fonction tangente est périodique de période \(\pi\) ;
- \(\tan(-x) = -\tan x\) : la fonction tangente est impaire.
Exemple
Valeurs remarquables de la tangente :
\[ \begin{array}{|c|c|c|c|c|c|} \hline x & 0 & \dfrac{\pi}{6} & \dfrac{\pi}{4} & \dfrac{\pi}{3} & \dfrac{\pi}{2} \ \hline \tan x & 0 & \dfrac{\sqrt{3}}{3} & 1 & \sqrt{3} & \text{non définie} \ \hline \end{array} \]5 Formules trigonométriques
Proposition
Angles opposés. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \cos(-x) = \cos x, \quad \sin(-x) = -\sin x, \quad \tan(-x) = -\tan x. \]La fonction \(\cos\) est paire ; les fonctions \(\sin\) et \(\tan\) sont impaires.
Proposition
Angles supplémentaires. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \cos(\pi - x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi - x) = \sin x. \]Proposition
Angles décalés de \(\pi\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \cos(\pi + x) = -\cos x, \qquad \sin(\pi + x) = -\sin x. \]Proposition
Angles complémentaires. Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \sin x, \qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right) = \cos x. \]Proposition
Angles décalés de \(\dfrac{\pi}{2}\). Pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = -\sin x, \qquad \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) = \cos x. \]Chaque formule est une symétrie du cercle. Choisissez la relation, déplacez \(x\), et lisez quelle coordonnée change de signe. Il n'y a rien à apprendre par coeur.
Exemple
Calculer \(\cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\) et \(\sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right)\).
On écrit \(\dfrac{5\pi}{6} = \pi - \dfrac{\pi}{6}\), donc :
\[ \cos\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \cos\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = -\cos\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = -\dfrac{\sqrt{3}}{2}. \]\[ \sin\!\left(\dfrac{5\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\pi - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\!\left(\dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2}. \]Exercice
Calculer, sans calculatrice :
\[ \cos\!\left(\dfrac{2\pi}{3}\right), \quad \sin\!\left(\dfrac{7\pi}{6}\right), \quad \cos\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right), \quad \sin\!\left(\dfrac{3\pi}{4}\right), \quad \tan\!\left(\dfrac{5\pi}{4}\right). \]Exercice
Simplifier les expressions suivantes pour tout \(x \in \mathbb{R}\) :
\[ A = \cos(\pi - x) + \sin\!\left(\dfrac{\pi}{2} + x\right) + \cos(\pi + x), \]\[ B = \sin(\pi - x)\cos(-x) + \cos\!\left(\dfrac{\pi}{2} - x\right)\sin(\pi + x). \]6 Équations trigonométriques fondamentales
Théorème
Soient \(\alpha \in \mathbb{R}\) et \(x \in \mathbb{R}\).
- \(\cos x = \cos\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = -\alpha + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) ;
- \(\sin x = \sin\alpha \iff x = \alpha + 2k\pi\) ou \(x = \pi - \alpha + 2k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\) ;
- \(\tan x = \tan\alpha \iff x = \alpha + k\pi\), \(k \in \mathbb{Z}\), avec \(\cos x \neq 0\).
Une équation trigonométrique se lit comme une intersection. Déplacez la valeur cherchée et comptez les points d'intersection : ce sont les solutions dans un tour.
Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\cos x = \dfrac{1}{2}\).
On sait que \(\cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\). Donc :
\[ \cos x = \cos\!\left(\dfrac{\pi}{3}\right) \iff x = \dfrac{\pi}{3} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = -\dfrac{\pi}{3} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]Exemple
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) : \(\sin x = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\).
On a \(\sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\). Donc :
\[ \sin x = \sin\!\left(-\dfrac{\pi}{4}\right) \iff x = -\dfrac{\pi}{4} + 2k\pi \quad \text{ou} \quad x = \dfrac{5\pi}{4} + 2k\pi, \quad k \in \mathbb{Z}. \]Exercice
Résoudre dans \(\mathbb{R}\) les équations suivantes :
\[ (a)\ 2\cos x - \sqrt{3} = 0 ; \quad (b)\ \sin\!\left(2x - \dfrac{\pi}{6}\right) = \dfrac{1}{2} ; \quad (c)\ \tan x = 1. \]