Calcul trigonométrique TC
Table des matières
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Cercle trigonométrique et abscisses curvilignes
Définition
Le cercle trigonométrique est le cercle de centre \(O\), de rayon \(1\), orienté dans le sens direct.
À tout réel \(x\), on associe l’unique point \(M\) obtenu en parcourant sur ce cercle une longueur algébrique égale à \(x\) à partir de \(I\).
Le réel \(x\) est une abscisse curviligne de \(M\).
Propriété
Deux réels \(x\) et \(y\) repèrent le même point du cercle si et seulement si
\[x-y=2k\pi\qquad\text{avec }k\in\mathbb Z.\]
Tout point du cercle possède une unique abscisse curviligne principale dans \(]-\pi,\pi]\).
Propriété
Les unités d’angle sont reliées par
\[180^{\circ}=\pi\ \text{rad}=200\ \text{grades}.\]
Ainsi
\[\alpha_{\mathrm{rad}}=\alpha_{\mathrm{deg}}\frac{\pi}{180}, \qquad \alpha_{\mathrm{grade}}=\alpha_{\mathrm{deg}}\frac{10}{9}.\]
Exemple
Déterminer l’abscisse principale du point repéré par \(\dfrac{17\pi}{6}\).
Convertir ensuite \(150^{\circ}\) en radians et en grades.
Exercice n°1
Déterminer l’abscisse curviligne principale associée à \(-\dfrac{25\pi}{6}\), puis convertir \(135^{\circ}\) en radians et en grades.
Angles orientés
Définition
Soient \([Ox)\) et \([Oy)\) deux demi droites de même origine. L’angle orienté
\(\widehat{([Ox),[Oy))}\) est défini modulo \(2\pi\).
Sa mesure principale est l’unique mesure appartenant à \(]-\pi,\pi]\).
Propriété
Pour trois demi droites \([Ox)\), \([Oy)\) et \([Oz)\), la relation de Chasles s’écrit
\[\widehat{([Ox),[Oz))}=\widehat{([Ox),[Oy))}+\widehat{([Oy),[Oz))}\pmod{2\pi}.\]
On a aussi
\[\widehat{([Oy),[Ox))}=-\widehat{([Ox),[Oy))}\pmod{2\pi}.\]
Définition
Pour deux vecteurs non nuls \(\vec u\) et \(\vec v\), l’angle orienté
\(\widehat{(\vec u,\vec v)}\) est l’angle de deux demi droites dirigées respectivement par \(\vec u\) et \(\vec v\).
Il vérifie la même relation de Chasles.
Exemple
Si \(\widehat{(\vec u,\vec v)}\equiv\dfrac{5\pi}{6}\) et
\(\widehat{(\vec v,\vec w)}\equiv-\dfrac{2\pi}{3}\), déterminer
\(\widehat{(\vec u,\vec w)}\) modulo \(2\pi\).
Exercice n°2
On donne \(\widehat{(\vec u,\vec v)}\equiv\dfrac{7\pi}{5}\) et
\(\widehat{(\vec v,\vec w)}\equiv\dfrac{9\pi}{10}\). Déterminer la mesure principale de \(\widehat{(\vec u,\vec w)}\).
Lignes trigonométriques
Définition
Si le point \(M\) du cercle trigonométrique associé au réel \(x\) a pour coordonnées \((a,b)\), alors
\[\cos x=a,\qquad \sin x=b.\]
Lorsque \(\cos x\ne0\), on définit
\[\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}.\]
Pour un angle orienté, ses lignes trigonométriques sont celles de l’une quelconque de ses mesures.
Propriété
Pour tout réel \(x\),
\[\cos^2x+\sin^2x=1.\]
Lorsque \(\cos x\ne0\),
\[1+\tan^2x=\frac{1}{\cos^2x}.\]
Propriété
\[\begin{array}{c|ccccc} x&0&\dfrac{\pi}{6}&\dfrac{\pi}{4}&\dfrac{\pi}{3}&\dfrac{\pi}{2}\\ \hline \cos x&1&\dfrac{\sqrt3}{2}&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac12&0\\ \sin x&0&\dfrac12&\dfrac{\sqrt2}{2}&\dfrac{\sqrt3}{2}&1\\ \tan x&0&\dfrac{\sqrt3}{3}&1&\sqrt3&\text{non définie} \end{array}\]
Exemple
Si \(\cos x=-\dfrac35\) et \(x\in\left[\dfrac{\pi}{2},\pi\right]\),
calculer \(\sin x\) et \(\tan x\) en justifiant leurs signes.
Angles associés et équations fondamentales
Propriété
Pour tout réel \(x\),
\[\begin{align*} \cos(-x)&=\cos x,&\sin(-x)&=-\sin x,\\ \cos(\pi-x)&=-\cos x,&\sin(\pi-x)&=\sin x,\\ \cos(\pi+x)&=-\cos x,&\sin(\pi+x)&=-\sin x,\\ \cos\left(\frac\pi2-x\right)&=\sin x,& \sin\left(\frac\pi2-x\right)&=\cos x,\\ \cos\left(\frac\pi2+x\right)&=-\sin x,& \sin\left(\frac\pi2+x\right)&=\cos x. \end{align*}\]
Lorsque les tangentes sont définies, on a aussi
\[\tan(-x)=-\tan x,\qquad \tan(\pi-x)=-\tan x,\qquad \tan(\pi+x)=\tan x.\]
Propriété
Pour tous réels \(x\) et \(a\),
\[\begin{align*} \cos x=\cos a&\iff x=2k\pi+a\ \text{ou}\ x=2k\pi-a,\\ \sin x=\sin a&\iff x=2k\pi+a\ \text{ou}\ x=(2k+1)\pi-a,\\ \tan x=\tan a&\iff x=k\pi+a, \end{align*}\]
où \(k\in\mathbb Z\), la dernière relation étant écrite lorsque les tangentes sont définies.
Exemple
Résoudre graphiquement dans \([0,2\pi[\) l’équation \(\cos x=-\dfrac12\),
puis vérifier les solutions sur le cercle trigonométrique.
Exercice n°3
Résoudre dans \(]-\pi,\pi]\) l’équation \(\sin x=\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Fonctions sinus et cosinus
Propriété
Les fonctions sinus et cosinus sont définies sur \(\mathbb R\) et sont périodiques de période \(2\pi\).
La fonction cosinus est paire et la fonction sinus est impaire :
\[\cos(-x)=\cos x,\qquad \sin(-x)=-\sin x.\]
Leurs valeurs appartiennent à \([-1,1]\).
Propriété
Sur \([0,\pi]\), la fonction cosinus est strictement décroissante de \(1\) à \(-1\).
Sur \(\left[-\dfrac\pi2,\dfrac\pi2\right]\), la fonction sinus est strictement croissante de \(-1\) à \(1\).
La périodicité et la parité permettent de construire les deux courbes sur tout \(\mathbb R\).
Remarque
Une équation ou une inéquation trigonométrique peut être résolue graphiquement en lisant les intersections ou les positions relatives de la courbe et d’une droite horizontale.
Inéquations trigonométriques fondamentales
Propriété
Pour résoudre une inéquation telle que \(\sin x\geq a\), \(\cos x\leq a\) ou \(\tan x\geq a\), on commence par la résoudre sur une période à l’aide du cercle trigonométrique ou d’une courbe, puis on ajoute les périodes.
Exemple
Résoudre graphiquement \(\sin x\geq\dfrac12\) d’abord sur \([0,2\pi[\),
puis dans \(\mathbb R\) en utilisant la périodicité.
Exemple
Résoudre graphiquement l’inéquation \(\cos x<0\) sur \(]-\pi,\pi]\).
Exercice n°4
Résoudre dans \([0,2\pi[\) l’inéquation \(\cos x\geq\dfrac{\sqrt2}{2}\).
Angles inscrits et relations dans le triangle
Théorème
Dans un cercle de centre \(O\), un angle inscrit et un angle au centre interceptant le même arc vérifient
\[\widehat{AMB}=\frac12\widehat{AOB}.\]
Deux angles inscrits interceptant le même arc ont donc la même mesure.
Propriété
Un quadrilatère convexe est inscriptible dans un cercle si et seulement si ses angles opposés sont supplémentaires.
Ainsi, pour un quadrilatère inscriptible \(ABCD\),
\[\widehat A+\widehat C=\pi, \qquad \widehat B+\widehat D=\pi.\]
Théorème
Dans un triangle \(ABC\), on pose \(a=BC\), \(b=CA\), \(c=AB\) et on note \(R\) le rayon du cercle circonscrit. Alors
\[\frac{a}{\sin\widehat A}=\frac{b}{\sin\widehat B}=\frac{c}{\sin\widehat C}=2R.\]
C’est la loi des sinus.
Propriété
L’aire \(\mathcal A\) du triangle \(ABC\) vérifie
\[\mathcal A=\frac12bc\sin\widehat A =\frac12ca\sin\widehat B =\frac12ab\sin\widehat C.\]
Si \(p\) est le demi périmètre et \(r\) le rayon du cercle inscrit, alors
\[\mathcal A=pr.\]
Exemple
Dans un triangle, le côté opposé à \(\widehat A=30^{\circ}\) mesure \(a=6\).
Calculer le rayon du cercle circonscrit.
Exercice n°5
Dans un triangle \(ABC\), on donne \(AB=8\), \(AC=5\) et \(\widehat A=60^{\circ}\). Calculer l’aire du triangle, puis son rayon inscrit sachant que \(BC=7\).
À retenir
Propriété
Un angle orienté est défini modulo \(2\pi\) et possède une mesure principale dans \(]-\pi,\pi]\).
Le cercle trigonométrique relie angles, coordonnées, équations et inéquations.
Les fonctions sinus et cosinus sont périodiques de période \(2\pi\).
Les angles inscrits, la loi des sinus et les formules d’aire prolongent la trigonométrie dans la géométrie du triangle.