Série d’exercices
Trigonométrie
Tronc Commun
1ère Bac
Le cercle trigonométrique
Où cosinus et sinus sont des coordonnées
Le cercle trigonométrique transforme les valeurs remarquables en positions. Le cosinus et le sinus cessent d'être des lignes d'un tableau à mémoriser : ce sont les deux coordonnées d'un point qui tourne. Faites varier l'angle et regardez les signes changer de quadrant en quadrant.
Définition
\[ M(\theta) = (\cos\theta\,;\,\sin\theta) \quad \text{sur le cercle de centre } O \text{ et de rayon } 1 \]
L'essentiel
- Identité fondamentale
- \(\cos^2\theta + \sin^2\theta = 1\)
- Périodicité
- \(\cos(\theta + 2\pi) = \cos\theta\)
- Parité
- \(\cos(-\theta) = \cos\theta\), \(\sin(-\theta) = -\sin\theta\)
- Tangente
- \(\tan\theta = \dfrac{\sin\theta}{\cos\theta}\), \(\cos\theta \neq 0\)
- Angle plat
- \(\cos(\pi - \theta) = -\cos\theta\), \(\sin(\pi - \theta) = \sin\theta\)
Ce qu'il faut retenir
- Le rayon vaut \(1\), donc le cosinus et le sinus sont toujours compris entre \(-1\) et \(1\). Une équation comme \(\cos x = 2\) n'a pas de solution.
- Le quadrant donne les signes : les deux positifs en haut à droite, puis on tourne dans le sens direct.
- L'identité \(\cos^2 + \sin^2 = 1\) est le théorème de Pythagore appliqué au rayon.
- Les angles associés se lisent géométriquement : une symétrie par rapport à un axe change le signe d'une seule coordonnée.
Les pièges classiques
- Travailler en degrés dans une formule qui attend des radians. Le programme du lycée raisonne en radians.
- Oublier les solutions modulo \(2\pi\). Une équation trigonométrique a en général une infinité de solutions.
- Confondre \(\cos(\pi - \theta)\) et \(\cos(\pi + \theta)\). La figure lève le doute plus vite qu'un tableau appris par coeur.
- Utiliser \(\tan\theta\) quand \(\cos\theta = 0\), c'est à dire en \(\dfrac{\pi}{2}\) modulo \(\pi\).
Le cours correspondant.
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