Table des matières
@chap@autonum
@chap@nonewpage
= [text=@chap@color,rectangle,left]
= [right color=@chap@color, left color=white,thick]
= [@chap@color,left,scale=0.5]
= [text=@chap@color,rectangle,right]
= [left color=@chap@color, right color=white,thick]
= [@chap@color,right,scale=0.5]
Définition et vocabulaire
Définition
On appelle polynôme (ou fonction polynomiale) toute fonction \(P\) définie sur \(\mathbb{R}\) par une expression de la forme :
\[P(x)=a_{n}\,x^{n}+a_{n-1}\,x^{n-1}+\cdots+a_{1}\,x+a_{0},\]
où \(n\in\mathbb{N}\) et \(a_{0},a_{1},\ldots,a_{n}\) sont des nombres réels appelés coefficients de \(P\).
Le terme \(a_{k}\,x^{k}\) est appelé terme de degré \(k\) et \(a_{k}\) coefficient du terme de degré \(k\).
Définition
-
Le polynôme \(P\) tel que tous les coefficients sont nuls est appelé polynôme nul, noté \(0\).
-
Si \(a_{n}\neq 0\), l’entier \(n\) est appelé le degré de \(P\), et l’on note \(\mathrm{d}^{\circ} P=n\).
-
Le coefficient \(a_{n}\) (correspondant au plus haut degré) est appelé coefficient dominant.
-
Le polynôme nul n’a pas de degré (par convention).
Exemple
Donner le degré et le coefficient dominant de
\(P(x)=2x^3-5x+1\), \(Q(x)=-4x^2+x\), \(R(x)=7\) et \(S(x)=0\).
Exercice n°1
On donne \(P(x)=3x^{4}-2x^{2}+5\) et \(Q(x)=-x^{3}+x\).
-
Donner le degré et le coefficient dominant de \(P\), puis de \(Q\).
-
Calculer \(P(1)\) et \(Q(-1)\).
-
Le nombre \(0\) est il une racine de \(Q\) ?
Égalité de deux polynômes
Théorème
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes. Alors \(P=Q\) si et seulement si les
coefficients de chaque puissance de \(x\) sont égaux deux à deux, en complétant
au besoin par des coefficients nuls. En particulier, si \(P\) et \(Q\) sont non
nuls et égaux, alors \(\mathrm{d}^{\circ} P=\mathrm{d}^{\circ} Q\).
Remarque
Méthode d’identification : si \(P(x)=Q(x)\) pour tout \(x\in\mathbb{R}\), on peut identifier les coefficients de chaque puissance de \(x\).
Exemple
Déterminer \(a,b,c\) tels que
\(a(x^2+1)+b(x-1)+c=2x^2-x+3\) pour tout réel \(x\).
Exercice n°2
On pose \(P(x)=(a-1)x^{2}+3x+b\) et \(Q(x)=2x^{2}+cx-5\), où \(a\), \(b\) et \(c\) sont des réels.
-
Traduire l’égalité \(P=Q\) par un système de conditions sur \(a\), \(b\) et \(c\).
-
En déduire les valeurs de \(a\), \(b\) et \(c\).
Opérations sur les polynômes
Définition
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes non nuls.
-
La somme \(P+Q\) est obtenue en additionnant les coefficients des termes de même degré.
-
Le produit \(P\times Q\) est obtenu en développant.
Propriété
Soient \(P\) et \(Q\) deux polynômes non nuls.
-
\(\mathrm{d}^{\circ}(P+Q)\leq \max(\mathrm{d}^{\circ} P,\mathrm{d}^{\circ} Q)\).
-
\(\mathrm{d}^{\circ}(P\times Q)=\mathrm{d}^{\circ} P + \mathrm{d}^{\circ} Q\).
Exemple
Pour \(P(x)=2x^2-x+3\) et \(Q(x)=x^3+x-1\), calculer \(P+Q\) et \(PQ\), puis prévoir leurs degrés.
Exercice n°3
On donne \(P(x)=2x^{2}-x+3\) et \(Q(x)=x^{2}+4x-1\).
-
Calculer \(P+Q\) et \(P-Q\).
-
Calculer \(P\times Q\).
-
Donner le degré de chacun des trois polynômes obtenus.
Division euclidienne par \(x-\alpha\)
Théorème de la division
Théorème
Théorème (division euclidienne par \(x-\alpha\)).
Soient \(P\) un polynôme et \(\alpha\in\mathbb{R}\).
Il existe un unique polynôme \(Q\) et un unique réel \(r\) tels que :
\[P(x)=(x-\alpha)\,Q(x)+r.\]
\(Q\) est appelé le quotient et \(r\) le reste de la division.
Propriété
Avec les notations du théorème :
\[r=P(\alpha).\]
Exemple
Effectuer la division euclidienne de \(P(x)=2x^3-5x^2+x+3\) par \(x-2\), puis vérifier le reste à l’aide de \(P(2)\).
Méthode de Horner
Remarque
Schéma de Horner pour diviser \(P(x)=a_{n}x^{n}+\cdots+a_{0}\) par \(x-\alpha\) : on dispose les coefficients dans un tableau, et l’on calcule de proche en proche.
À faire : compléter le schéma de Horner de
\(P(x)=2x^{3}-5x^{2}+x+3\) par \(x-2\), puis en déduire le quotient et le reste.
Contrôler le reste en calculant \(P(2)\).
Exercice n°4
Soit \(P(x)=x^{3}-4x^{2}+x+6\).
-
Vérifier que \(P(2)=0\).
-
Effectuer la division euclidienne de \(P\) par \(x-2\).
-
En déduire toutes les racines de \(P\).
Racine d’un polynôme et factorisation
Définition
Un réel \(\alpha\) est une racine (ou un zéro) du polynôme \(P\) si :
\[P(\alpha)=0.\]
Théorème
Théorème. Soit \(P\) un polynôme et \(\alpha\in\mathbb{R}\). Les énoncés suivants sont équivalents :
-
\(\alpha\) est une racine de \(P\).
-
\(P(\alpha)=0\).
-
\((x-\alpha)\) divise \(P(x)\), c’est-à-dire il existe un polynôme \(Q\) tel que :
\[P(x)=(x-\alpha)\,Q(x).\]
Exemple
Soit \(P(x)=x^3-3x^2-x+3\). Vérifier que \(1\) est une racine, appliquer la méthode de Horner, puis factoriser complètement \(P\).
Propriété
Un polynôme non nul de degré \(n\) admet au plus \(n\) racines réelles distinctes.
Exercice n°5
Soit \(P(x)=x^{3}+2x^{2}-5x-6\).
-
Vérifier que \(-1\) est une racine de \(P\).
-
Factoriser \(P(x)\) par \((x+1)\).
-
Résoudre l’équation \(P(x)=0\).
Exercice n°6
Effectuer la division euclidienne de \(P(x)=2x^{4}-x^{3}+3x-1\) par \(D(x)=x-1\).